Além da adição, da substituição e do escalonamento, há um quarto método interessante de ser estudado, a Regra de Cramer. Para aplicar essa regra, é necessário relembrar mais conceitos sobre matrizes, como o cálculo do determinante de uma matriz. A grande peculiaridade da regra de Cramer é que ela pode ser aplicada apenas em sistemas em que o número de incógnitas é igual ao número de equações.
Para encontrar a solução de um sistema utilizando este método, é necessário calcular, primeiramente, o determinante da matriz de coeficientes e, em seguida, calcular o determinante de outra matriz, que terá todas as suas colunas (uma de cada vez) substituídas pela matriz de termos independentes. Então, para encontrar o valor de x, é necessário substituir a coluna correspondente a essa incógnita na matriz de coeficientes pela matriz de termos independentes e assim sucessivamente. Veja as equações que permitem a resolução de um sistema a partir desse método:
Em que D é o determinante da matriz de coeficientes, Dx é o determinante da matriz com a primeira coluna substituída pela matriz de termos independentes, Dy é o determinante da matriz com a segunda coluna substituída pela matriz de termos independentes, Dz é o determinante da matriz com a coluna de z substituída pela matriz de termos independentes e Dn é o determinante da matriz com a coluna de n substituída pela matriz de termos independentes.
Vamos relembrar a matriz de coeficientes e a matriz de termos independentes:
Vamos construir essas matrizes e calcular os determinantes para encontrar cada uma das incógnitas, mas, primeiro, vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes:
Para calcular o determinante, vamos copiar à direita as duas primeiras colunas.
Calculando o determinante, teremos que D é:
Ótimo! Agora, vamos calcular o determinante associado a cada incógnita, começando pelo x:
Calculando o determinante:
Então, x vale:
Para calcular o determinante associado ao y, devemos substituir a matriz de termos independentes na linha y da matriz original:
Duplicando as colunas e calculando o determinante:
Então, segundo a Regra de Cramer, y vale:
Por fim, vamos calcular o determinante associado ao z:
Duplicando as colunas e resolvendo o determinante, teremos:
Calculando o z:
Então, encontramos x = 2, y = 1 e z = 3, ou seja, o mesmo resultado dos outros 3 métodos anteriores.
Agora que você tem todo esse arsenal de métodos, basta escolher o mais adequado para o sistema que você precisa resolver.