Sistemas lineares são compostos por equações lineares, assim como sistemas não-lineares são compostos por sistemas não-lineares. Tá, mas o que isso quer dizer? Que, primeiramente, você precisa identificar se a equação que está no sistema é ou não linear. Lembre que uma equação de segundo grau, por exemplo, é não-linear, já que o grau dela é 2 (ax2 + bx + c = 0), ou seja, há incógnitas se multiplicando. Em uma equação linear, não há termos em que as incógnitas se multiplicam. Por exemplo, não teremos termos xy, x2, xyz, y3 etc. Uma equação linear é sempre do tipo:
Em que os a’s são os coeficientes (números reais), os x’s são incógnitas (x, y, z, w, u, v,…) e o b é o termo independente (número real), que não é acompanhado de incógnita. Veja abaixo exemplos de equações lineares e não-lineares:
Note que os elementos da primeira coluna não apresentam multiplicação de incógnitas, caracterizando equações lineares, enquanto que, na segunda coluna, há multiplicação de incógnitas, caracterizando equações não-lineares. A partir disso, você é capaz de analisar se um sistema é linear.
Vamos voltar ao problema que tínhamos no capítulo de Álgebra II sobre as medidas de uma mesa que você deveria construir. Lá nós montamos o seguinte sistema, a partir de informações que você coletou:
Note que as duas equações do sistema são lineares, ou seja, há apenas uma incógnita para cada termo (com exceção do termo independente, que não tem incógnita mesmo). Para resolvermos esse sistema, nós utilizamos dois métodos, o de adição e o de substituição. Vamos relembrar cada um deles:
Adição
Nesse caso, a ideia é excluir uma das variáveis para conseguir encontrar a outra. Então, se multiplicarmos a primeira equação por -3, será possível anular o primeiro termo das duas equações. Acompanhe:
Somando as duas equações, chegaremos a:
Então, concluímos que y = 4. Para sabermos o valor de x, basta substituir o valor de y em uma das equações originais.
Quando resolvemos este problema no outro capítulo, nós definimos que x seria o lado maior da mesa e y, o lado menor. Por isso, a mesa terá lados 5 e 4, respectivamente, e a solução do sistema é formalmente dada por S = (5, 4).
Substituição
Esse método é baseado em substituir o valor de uma variável, dada por uma equação, na outra. Por exemplo, se isolarmos o x da primeira equação, chegaremos a um valor, composto pela variável y que, se substituído na segunda equação, fornecerá o valor de y. Veja o exemplo com o mesmo sistema anterior:
Substituindo o valor de x na segunda equação e resolvendo:
Chegaremos ao mesmo valor encontrado anteriormente para y, o lado menor, que vale 4. E o valor de x é facilmente encontrado se, a partir da equação em que o isolamos, substituirmos o valor de y:
Que também é o mesmo valor de x que encontramos anteriormente. E nem poderia ser diferente, né? São métodos diferentes, mas a resposta deve ser a mesma nos dois. Agora que relembramos a resolução de sistemas 2 x 2, podemos dar um passo a mais no nosso aprendizado e entender as diversas outras formas de resolver sistemas com ordens maiores. Vamos lá!