Quando um sistema tem a mesma solução do outro, podemos dizer que eles são sistemas equivalentes, por exemplo:
Note que a segunda equação do segundo sistema é 4 vezes a segunda equação do primeiro sistema. Outra observação importante é que a ordem das equações do sistema não importa, teríamos chegado ao mesmo resultado se o sistema estivesse montado da seguinte forma:
O método do escalonamento pretende facilitar a resolução de sistemas transformando um sistema mais complexo num mais fácil de ser resolvido, fazendo com que o número de incógnitas vá aumentando de baixo para cima nas equações. Difícil de entender? Veja o exemplo abaixo de sistemas não escalonados e de sistemas escalonados:
Mas, antes de aplicar o método do escalonamento no sistema linear, precisamos entender como o transformamos em uma matriz.
Matriz de Um Sistema Linear
Para saber qual é a forma matricial de um sistema linear, é necessário relembrar que o sistema é formado por coeficientes, por incógnitas e por termos independentes. Vamos tomar como exemplo o sistema 3 x 3 que utilizamos para descobrir o número de itens que um estudante comprou na papelaria. O sistema era:
Podemos construir uma matriz com os coeficientes das incógnitas, colocando todos os coeficientes do x na primeira coluna, do y na segunda e do z na terceira. Perceba que não temos x na terceira equação e, portanto, seu coeficiente é zero (0x). Ela ficaria assim:
Podemos também construir matrizes coluna com as incógnitas e com os termos independentes separadamente:
Note que, se fizermos AX = B, chegaremos ao mesmo sistema que transformamos em matriz.
Para aplicar o método do escalonamento, utilizaremos uma matriz com os coeficientes e com os termos independentes, que chamamos de matriz completa:
Escalonamento
Agora que já sabemos como transformar um sistema linear em uma matriz, podemos aplicar o método do escalonamento. Lembre que esse método pretende chegar a um sistema equivalente ao original, em que o número de incógnitas vá aumentando uma a uma de baixo para cima. No caso do sistema que estamos analisando, temos o seguinte:
Veja que, na última linha, temos duas incógnitas e, na segunda e na terceira linhas, temos 3 incógnitas. O nosso objetivo é chegar em algo assim:
Um sistema em que na terceira equação temos uma incógnita; na segunda, duas; e na terceira, 3 incógnitas. Para isso, vamos aplicar operações matemáticas nas linhas da matriz completa do sistema linear. Então, vamos comparar as matrizes para saber qual será o primeiro passo:
Veja que o último termo na primeira coluna já é zero, então não precisamos nos preocupar com ele.
Vamos chamar cada linha de L1, L2 e L3, de cima para baixo:
Agora, precisamos zerar os outros valores, como o segundo termo dessa mesma coluna, o 1. Para isso, note que se multiplicarmos a primeira linha por 1/2 e subtrairmos a linha 2 desse resultado, conseguiremos zerar o primeiro termo da segunda linha, ou seja, L2 – L1.(1/2). Acompanhe:
Agora, a nossa matriz está assim:
O próximo passo é zerar o terceiro elemento da segunda coluna, o 3. Veja que, para isso, podemos subtrair a segunda linha vezes seis da terceira linha, ou seja, L3 = L3 – 6.L2. Veja abaixo:
Ótimo! Atingimos nosso objetivo! Conseguimos zerar os dois últimos termos da primeira coluna e o último da segunda e, por isso, o nosso sistema ficou com uma incógnita na terceira linha, duas na segunda e três na primeira.
Agora fica mais fácil de resolver o sistema, né? Perceba que o “z” está quase “pronto” na terceira equação. Basta isolá-lo para encontrar seu
valor:
Tendo o valor de z, podemos substituir seu valor na segunda equação e encontrar o valor de y:
Agora, para encontrar o x, basta substituir os valores das incógnitas anteriores na primeira equação:
Pronto! Chegamos ao mesmo resultado dos métodos anteriores, ou seja, o estudante comprou 2 lápis (x), 1 borracha (y) e 3 canetas (z).