Anteriormente, o nosso problema envolvia apenas duas variáveis, que eram os lados de uma mesa. Mas, sistemas lineares podem ser de ordens maiores, com mais equações, mais incógnitas etc. Aqui, vamos aprender como é possível resolver sistemas de ordem 3, mas, com as técnicas que serão abordadas, você pode resolver sistemas de outras ordens, é só ter disposição! Vamos ao novo problema:
Um estudante de Matemática foi a uma papelaria e comprou x lápis, y borrachas e z canetas. Ele resolveu fazer uma brincadeira com seus colegas e pediu que, a partir de um sistema que ele montou, os estudantes calculassem quantas unidades de cada item ele comprou. O sistema que ele criou foi o seguinte:
Os colegas aceitaram o desafio. Um deles preferiu resolver o sistema por adição e o outro, por substituição. Os procedimentos que eles seguiram são, basicamente, os que utilizamos na resolução do nosso sistema 2×2 e estão explicados abaixo:
Adição
Apesar dessa resolução ser por adição, o primeiro procedimento é de substituição. Isso porque é necessário criar um novo sistema, com apenas duas equações, para resolver este problema. Então, primeiramente, isola-se uma das variáveis. O estudante optou por isolar o z da primeira equação, chegando a:
Em seguida, substitui-se o “valor” do z acima nas duas outras equações do sistema. Na segunda:
E na terceira:
Veja que chegamos a duas novas equações que contêm apenas duas incógnitas, x e y. Podemos montar um novo sistema com essas equações e encontrar os valores delas:
Agora sim, resolvendo o sistema por adição, podemos multiplicar a segunda equação por 3 para poder obter um resultado que possibilite anular uma das variáveis, nesse caso, o y, e assim conseguimos encontrar o x. Acompanhe:
Agora, basta substituir o valor de x em uma das equações acima para encontrar o valor de y. O estudante optou por substituir na segunda equação:
Sabendo os valores de x e y, basta substituir esses valores em uma das equações do sistema original para encontrar o z. Fazendo esse procedimento na terceira equação do sistema original:
Pronto! O estudante que resolveu o sistema por adição encontrou x = 2, y = 1 e z = 3, então, o colega dele, que propôs o desafio, comprou 2 lápis, 1 borracha e 3 canetas.
Substituição
Faremos o mesmo procedimento inicial do método anterior, isolando uma variável do sistema e substituindo-a nas outras equações:
Assim como antes, com essas equações, formamos um novo sistema igual ao do método anterior:
Até agora tudo como antes, né? A diferença começa aqui: esse estudante optou por resolver o sistema por substituição, então, isolou uma das variáveis, no caso o y da segunda equação, nesse novo sistema e substituiu o “valor” dele na primeira equação, possibilitando encontrar o valor de x. Sabendo o valor de x, basta substituí-lo na primeira equação desse segundo sistema para encontrar o y:
E agora, com o valor de y, é possível encontrar o valor de z substituindo o que já sabemos na terceira equação do sistema original:
Finalmente, o estudante chegou ao resultado de que x = 2, y = 1 e z = 3, ou seja, o seu colega comprou 2 lápis, 1 borracha e 3 canetas. Exatamente o mesmo resultado que o outro estudante encontrou pelo método da adição.
Você viu que resolver sistemas 3 x 3 por adição e por substituição exige bastante atenção para realizar as manipulações matemáticas com as incógnitas, certo? Mas, existem métodos que facilitam um pouco a resolução de sistemas lineares, utilizando matrizes, o escalonamento e a Regra de Cramer. Vamos abordá-los a seguir.