Trigonometria do Triângulo Retângulo

Agora que você está imerso no mundo da Geometria e da Trigonometria, deve estar enxergando ângulos e triângulos por todos os lados, certo? Então, se eu dissesse que sei o comprimento de uma escada e qual é a distância entre ela e a parede, você conseguiria dizer qual é o ângulo formado entre a escada e o chão?

Vamos pensar: utilizando seus conhecimentos sobre ângulos, você certamente diria que é um ângulo agudo, já que é menor do que 90°; como você sabe quais são os tipos de triângulos mais comuns, acertaria em dizer que a escada apoiada na parede forma um triângulo retângulo; utilizando o teorema de Pitágoras, conseguiria calcular qual é a altura dessa parede, assim como utilizando a semelhança de triângulos.

Então, mesmo com todos esses conhecimentos, não seria possível, ainda, responder qual é o ângulo que estamos procurando, certo? Para tornar isso possível, vou te levar agora para entender a trigonometria do triângulo retângulo, que envolve os ângulos desse triângulo e seus lados, fazendo relações entre as razões dos lados e o ângulo.

Primeiramente, vamos considerar a representação de um triângulo retângulo:

Você precisa estar atento a um detalhe quando for analisar os lados de um triângulo retângulo: quais são os catetos? Precisamos diferenciá-los em cateto oposto e em cateto adjacente. Bom, primeiramente, você precisa definir qual é o ângulo que está interessado. Essa é a chave!

Depois que esse ângulo for definido, o cateto oposto é aquele em que nenhum lado encosta no ângulo; já o cateto adjacente é aquele que faz parte do ângulo. Assim ficou mais fácil, né? Vamos partir para a segunda parte. Podemos calcular os senos, cossenos e tangentes dos ângulos utilizando as relações dos casos abaixo.

Caso 1: cálculo do seno de um ângulo

► Caso 2: cálculo do cosseno de um ângulo

► Caso 3: cálculo da tangente de um ângulo

É muito detalhe para decorar? Então, tenta gravar como SOH-CAH-TOA. A primeira sílaba nos dá a relação do primeiro caso (Seno cateto Oposto Hipotenusa); em seguida temos a relação do cosseno (Cosseno cateto Adjacente Hipotenusa) e por último a razão da tangente (Tangente cateto Oposto cateto Adjacente). A ordem importa, viu? A primeira letra é o que vem antes da igualdade, depois temos o numerador e por fim o denominador.

Agora que entendemos isso, vamos voltar ao nosso problema inicial. Como calcular aquele ângulo? Vamos ver quais são os catetos para saber qual das relações utilizar.

Temos informação apenas sobre o cateto adjacente, que sabemos que vale 2 m, e sobre a hipotenusa, que vale 5 m. Relembrando o SOH-CAH-TOA, percebemos que o mais simples é utilizar o CAH, ou seja, o cosseno do ângulo. Perceba que podemos descobrir qual é o valor do cateto oposto a partir do teorema de Pitágoras, mas esse não é o nosso foco agora. Então vamos aplicar esses valores às razões que aprendemos antes:

Ótimo! Encontramos o cosseno do nosso tão querido ângulo. Mas, peraí! A questão não era encontrar o cosseno do ângulo, mas encontrar o ângulo! Tanto o cosseno, quanto o seno e a tangente possuem valores tabelados para os ângulos. Então, para saber qual é o ângulo, precisamos consultar uma tabela ou utilizar a calculadora. Procurando na tabela de cossenos qual é o ângulo que equivale a 0,4, chegaremos em 66,42o (supondo que a nossa tabela é super completa e que tem a informação sobre todos os ângulos). Assim, o ângulo que a escada faz com o chão é de 66,42o.

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