E se perguntassem para você: quanto vale a soma de todos os números de 1 a 100? Conseguiria responder rapidamente?
Reza a lenda matemática que, no século XVIII, um professor propôs esse desafio para ocupar os seus estudantes. O professor imaginava que teria um bom período livre enquanto os alunos somavam 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6… Porém, para sua surpresa, um jovem rapaz apareceu alguns minutos depois com a resposta: 5050! Indignado, o professor indagou como ele havia chegado no resultado. O menino respondeu que havia percebido que 1 + 100 era igual a 101. Andando uma casa pra frente do 1 e uma pra trás no 100, a soma se repetiria: 2 + 99 = 101. E esse processo era o mesmo ao longo de toda a sequência:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
.
.
49 + 52 = 101
50 + 51 = 101
Ou seja, somar todos os termos era equivalente a somar 50 vezes o número 101. Genial, certo? Este rapaz se chamava Carl Friederich Gauss, e, ao longo do século seguinte, se consagrou como um dos maiores matemáticos da história da humanidade. Evidentemente que é improvável que tal descoberta tenha sido feita ao acaso dentro de uma sala de aula, mas a história é bem elucidativa.
A grande sacada é enxergar que uma característica das PAs são os termos equidistantes dos extremos, que, se somados, apresentarão o mesmo valor de outros dois termos equidistantes dos extremos. Vejamos a imagem:
No caso desse exemplo, a soma de todos os termos é equivalente a somar todas as distâncias. Perceba que não é a distância total que o caminhão percorreu, que seria 800 km, o valor do último termo, mas a soma das distâncias em cada hora. Nesse caso específico, saber o valor dessa soma não parece fazer muito sentido, mas a ideia aqui é aprender como fazer. Então, veja que a soma dos termos pode ser dada por:
Perceba que 880 é a soma dos termos equidistantes dos extremos e 5 é a metade do número de termos. Então, podemos generalizar isso na expressão:
Em que Sn é a soma dos termos de interesse. Perceba que aqui temos um número par de termos, mas não há problema se um número sobrar sozinho no caso de um número ímpar de termos, ok?
Como já foi dito, essa equação faz mais sentido quando estamos contando objetos. Por exemplo: a produção de cadeiras por hora pode ser descrita como uma PA. Assim, poderíamos somar todos os termos, ou todas as cadeiras, para saber quantas foram produzidas em um determinado intervalo de tempo.
Por fim, existe uma outra equação que permite encontrar termos se soubermos o seu antecessor e o seu sucessor. Basta somar esses dois e dividir por 2. Veja:
Em que k é o número do termo que estamos procurando. Utilizando os valores do nosso exemplo, vamos tentar encontrar o termo a8 a partir da equação acima. Sabemos que o termo anterior a ele, o a7, vale 560, e o sucessor, o a9, vale 720, então:
O resultado que encontramos confere com o que calculamos de outras duas formas diferentes, certo? Como cada problema terá uma característica diferente, você terá que saber essas artimanhas para resolvê-los da forma mais simples possível.