Seus familiares continuam pedindo para que você construa mesas, mas agora as instruções fornecidas por eles são um pouco diferentes. Sua prima quer que você faça uma mesa e lhe disse que 9 é a soma entre o lado maior e o lado menor que ela deseja que o móvel tenha. Como você não entendeu, ela deu outra informação: a soma de três vezes o lado maior e quatro vezes o lado menor é 31. Você conseguiu desvendar os demais enigmas feitos pelos seus parentes, mas esse está mais complicado. Para tentar organizar as ideias, você resolveu desenhar a mesa chamando um lado de x e o outro de y:
Em seguida, você organizou as instruções fornecidas pela sua prima no formato de equações. A primeira diz que 9 é a soma entre o lado menor e o lado maior, que pode ser reescrito como:
A outra forma que sua prima encontrou de tentar te ajudar a compreender a medida da mesa foi dizendo que a soma de três vezes o lado maior com quatro vezes o lado menor era 31, que pode ser reescrito como:
Apesar de serem equações completamente diferentes, elas descrevem o mesmo problema, a relação entre x e y, ou os lados da mesa. Por isso, podemos vinculá-las para conseguir resolver esse problema. Essa associação que realizaremos com as duas equações é chamada de Sistema de Equações Lineares e pode conter várias equações e variáveis, de forma que nem sempre é possível resolvê-lo. No nosso caso, será possível, já que temos duas equações e duas variáveis (abordaremos mais profundamente esse tema no capítulo de Sistemas Lineares), por isso, teremos um sisteminha chamado de 2 x 2. Veja como são montados:
Coloca-se uma equação em cima da outra, de preferência com a mesma ordem de variáveis, para facilitar visualmente. Outro detalhe é que as equações ficam compreendidas em uma chave. Agora que já sabemos disso, como é que resolvemos? Vamos abordar diversas formas de resolução de sistemas lineares ao longo do nosso estudo da Matemática, mas, por enquanto, vamos nos ater a apenas duas: resolução de sistemas por adição e por substituição.
Resolução por Adição
Essa forma de resolver o problema é bem interessante, mas às vezes é necessário fazer adaptações para que ela funcione. O preceito aqui é conseguir excluir uma das variáveis para que seja possível encontrar a segunda. Perceba que, na nossa equação, teremos 4x + 5y = 40 se somarmos todos os termos e isso não vai nos ajudar em nada. Mas, e se multiplicarmos a primeira equação por -3, você consegue notar que será possível anular o primeiro termo das duas equações? Veja como fica:
Somando as duas equações, chegaremos a:
Então, concluímos que y = 4, que definimos anteriormente que é o menor lado da mesa. Para sabermos o valor de x, o lado maior, basta substituir o valor de y em uma das das equações originais.
Então, o lado maior vale 5 e o lado menor 4.
Resolução por Substituição
Esse método é baseado em substituir o valor de uma variável, dada por uma equação, na outra. Por exemplo, se isolarmos o x da primeira equação, chegaremos a um valor, composto pela variável y que, se substituído na segunda equação, fornecerá o valor de y. Veja o exemplo com o mesmo sistema anterior:
Substituindo o valor de x na segunda equação e fazendo as manipulações necessárias:
Chegaremos ao mesmo valor encontrado anteriormente para y, o lado menor, que vale 4. E o valor de x é facilmente encontrado se, a partir da equação em que o isolamos, substituirmos o valor de y:
E, assim, chegamos aos mesmos resultados que obtivemos anteriormente! Portanto, agora, para sistemas 2×2, você já conhece dois métodos de resolução, o da adição e o da substituição.