Se você costuma viajar de carro ou de ônibus, provavelmente já se deparou com a placa abaixo:
Essa placa indica um declive acentuado e é muito comum que a encontremos em regiões montanhosas. Claro que não é apenas na estrada que nos deparamos com ruas inclinadas. Você, se mora ou se já visitou uma cidade montanhosa, provavelmente já precisou traçar um roteiro que evitasse passar caminhando por um morro terrível, não? Ainda, talvez você já tenha se deparado com algum morro e pensado “essa rampa tem quase 90o”, certo?
Pois, para a surpresa de todos, saiba que a rua mais inclinada do mundo fica na Nova Zelândia, com 19o de inclinação (Lang, 2007). Portanto, qualquer lomba que você teve que subir de carro tem uma inclinação menor do que 19o, apesar de parecer muito mais!
Para garantir a segurança da população, o Departamento Nacional de Infra-estrutura de Transportes (DNIT) propõe que as estradas tenham entre 3 e 5o de inclinação, apenas. Caso a rua/via tenha mais do que isso, alguns veículos não poderão trafegar por ela, como é o caso de uma rua no centro de Porto Alegre (RS), que tem 16o de inclinação e onde é proibida a passagem de caminhões. Outro caso é a Serra do Rio do Rastro (SC) em que, devido à inclinação de 10o, seu asfalto possui ranhuras para facilitar a subida e descida de veículos (Lang, 2007).
Perceba que 10o. caracteriza uma inclinação bem importante e que, se fosse algo em torno de 90o, certamente seria inviável tentar transitar por ela, certo? Mas, já que isso é tão importante, como se “descobre” qual é a inclinação de uma rua? Como é medido esse ângulo?
Seno, Cosseno e Tangente
Para iniciar o nosso estudo, vamos analisar uma rua inclinada que uma pessoa precisa subir para chegar até em casa. A altura da casa dela é de 18 m em relação ao nível mais baixo da rua e, entre o início e o final da rampa, há uma distância (afastamento entre a pessoa e a casa no nível mais baixo da rua) de 100 m. Veja a ilustração abaixo:
Lembre que, sempre que estamos tentando resolver problemas matemáticos, é importante encontrar relações, como de proporcionalidade, triângulos semelhantes, etc. Perceba que podemos traçar um triângulo retângulo que tem como hipotenusa a rua inclinada, certo? Observe as linhas pontilhadas da figura:
Como o nosso objetivo é realizar um estudo sobre o ângulo de inclinação da rampa, vamos nomear cada lado do triângulo formado por ela de uma forma muito intuitiva. O lado que a pessoa precisa caminhar para chegar até a casa será chamado de “percurso”, o lado que indica a distância entre a casa e o nível da rua de “altura” e a base do triângulo será denominada “afastamento”. Veja como fica o desenho:
Numa representação simplificada, teremos o seguinte triângulo:
Podemos dividir tanto o valor de afastamento quanto o valor de altura em quatro partes, indicando as quatro partes correspondentes a elas no percurso pelas letras A, B, C e D.
A partir de conceitos de proporcionalidade e de semelhança de triângulos, podemos calcular um índice que relaciona o afastamento e a altura em cada um dos pontos do percurso, veja:
Perceba que o índice de subida é o mesmo em cada um dos pontos e, por isso, não depende do tamanho do triângulo (ou da rampa/rua), mas sim da inclinação dele. Perceba, também, que o valor do índice de subida é diretamente proporcional à inclinação, ou seja, quanto maior o valor do índice, maior é a inclinação e, portanto, maior o ângulo.
Esse índice de subida é associado à tangente (tan) do ângulo de inclinação, ou seja, o valor que encontramos de 0,18 é o valor da tangente do ângulo do triângulo. A representação é:
Mas cuidado! O ângulo não é 0,18. Esse valor é a tangente do ângulo e, para descobrirmos qual é, normalmente recorremos às tabelas dos livros ou à calculadora, realizando uma operação chamada de arco tangente (arc tan). Essa operação é aplicada a um valor de tangente para que possamos descobrir qual que é o ângulo associado! Ou seja, sei que 0,18 é tangente de algum ângulo, para descobrir que ângulo é esse, devemos aplicar arc tan. Veja a representação para o caso 0,18:
Esse valor foi calculado a partir de uma calculadora científica. Caso você não tenha uma agora, utilize seu celular (nas opções, normalmente é possível transformar a calculadora convencional em científica) ou o site Wolfram Alpha.
Lembre que os lados do triângulo que nomeamos anteriormente podem ser renomeados como:
Então, generalizando, a tangente de um ângulo é calculada como:
Caso invertêssemos essa relação, chegaríamos a uma outra, denominada cotangente (cotg), que é a inversa da tangente. Veja:
Cuidado! Não confunda arco tangente (a função inversa da tangente) com cotangente (apenas a inversa da tangente), ok? Quando fazemos arco tangente, é possível encontrarmos o ângulo ao qual aquela tangente está associada. Isso acontecerá com os outros índices também.
Nós já vimos as relações entre altura e afastamento, mas podemos fazer relações entre esses dois e o percurso. O único problema é que não sabemos o valor do percurso, mas, como você já estudou o Teorema de Pitágoras, nós podemos descobri-lo, certo? Vamos desenhar de novo a nossa rampa:
Lembre que o Teorema diz que o quadrado da hipotenusa (normalmente denominada a) é igual a soma dos quadrados dos catetos. Então, teremos o seguinte:
Então, como o percurso vale 101,6 m, podemos completar o triângulo conforme segue:
Agora que temos o triângulo com todos os valores, podemos realizar novas relações, como a entre a altura e o percurso. Nesse caso, o valor encontrado a partir dessa relação será chamado de seno. Veja o valor que obteremos com essa relação:
Lembre que este não é o valor do ângulo, mas o valor do seno do ângulo, que já sabemos ser 10,2o. Para calcularmos o ângulo a partir do valor do seno, devemos realizar uma operação chamada arco seno (arc sen) na calculadora. Veja:
Que faz todo sentido ser o mesmo resultado de antes, já que estamos estudando o mesmo ângulo, a partir de relações diferentes, ok? Generalizando, teremos que o seno pode ser calculado como:
Assim como na tangente, também podemos fazer a operação inversa do seno, que é chamada de secante (sec). Então, ao invertermos a relação entre a altura e o percurso, encontraremos a secante do ângulo:
Por fim, a última relação possível entre os lados do triângulo é a entre o afastamento e o percurso, que chamamos de cosseno (cos). Veja:
Substituindo os valores que já conhecemos, teremos:
E, como já vimos, realizamos outra operação para encontrar o valor do ângulo, o arco cosseno (arc cos):
Como esperado, encontramos o mesmo ângulo das outras situações, em que analisamos com os outros lados do triângulo.
Então, generalizando, o cosseno de um ângulo pode ser calculado por:
E a operação inversa do cosseno é a cossecante, dada pela inversão da relação que acabamos de analisar:
Se você não conseguir lembrar das relações que acabamos de ver, lembre-se da seguinte dica: SOH – CAH – TOA. A primeira parte se refere ao seno do ângulo, que é calculado pelo cateto oposto dividido pela hipotenusa (SOH); a segunda é o cosseno do ângulo, calculado dividindo o cateto adjacente pela hipotenusa (CAH); por fim temos a tangente, que é calculada dividindo o cateto oposto pelo cateto adjacente (TOA). Veja a figura abaixo que agrupa as informações que acabamos de estudar, chamadas de razões trigonométricas:
Sabendo tudo isso, você só precisa escolher a relação que lhe for conveniente. Essa escolha vai depender do problema atacado, mas lembre-se que você não precisa ter a informação sobre os três lados, tendo dois é o suficiente (até porque você já sabe como calcular o terceiro, se for o caso).
Além das relações entre os lados do triângulo que permitem encontrar os ângulos, é possível relacionar o seno, o cosseno e a tangente entre si. A primeira é a mais importante de todas e, por isso, é essencial que você saiba. Veja cada uma delas abaixo:
► 1ª relação: relação fundamental da trigonometria
► 2ª relação: a tangente pode ser calculada sabendo o senso e o cosseno
► 3ª relação: se a hipotenusa vale a, o cateto adjacente será a multiplicação de a pelo cosseno do ângulo alfa e o cateto oposto será a multiplicação de a pelo seno do ângulo alfa. Veja a figura:
► 4ª relação: ângulos complementares
► 5ª relação: ângulo entre 0º e 45º
► 6ª relação: ângulo entre 0º e 90º
Para finalizar essa parte em que trabalhamos exclusivamente com triângulos retângulos, vamos apresentar a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos. Com elas você consegue resolver qualquer problema de trigonometria. Veja os triângulos abaixo:
