Semelhança de Triângulos

Enquanto alguns estudantes, durante as férias, vão à praia ou ficam na cidade, Beto foi visitar seus tios em um lugar privilegiado no interior. Depois de tanto descansar, Beto pediu que seu tio o deixasse ajudar em uma tarefa específica: a construção de uma ponte para que fosse mais fácil visitar os parentes do outro lado do rio. O grande problema é que o tio não sabia qual era a distância entre uma margem e outra.

Felizmente, Beto prestou bastante atenção às aulas de geometria e explicou ao tio que era uma questão simples de resolver utilizando o método da paralaxe e a semelhança de triângulos. Com algumas medidas de um lado do rio, poucos minutos depois Beto já tinha conseguido o resultado da distância. Você tem ideia de como Beto resolveu esse problema tão facilmente? Então, vamos dar uma olhada nesses conceitos de semelhança, assim ficará mais claro!

A semelhança de triângulos pode ser entendida da seguinte forma. Vamos traçar uma linha DE paralela ao lado AB do triângulo abaixo:

Consegue perceber que podemos desenhar dois triângulos a partir disso? Olha aí:

E, a partir dessa “semelhança” entre esses dois triângulos, que na verdade são um só, chegaremos à relação entre os lados dos triângulos, que será muito útil no futuro:

Para tentar facilitar a visualização de triângulos semelhantes, é interessante entender como eles podem aparecer nos nossos problemas. Preste atenção:

► 1a situação: os triângulos possuem dois ângulos congruentes.

Note que, como há dois ângulos congruentes (iguais) entre os triângulos, o terceiro ângulo, por consequência, também será congruente.

2a situação: dois lados dos triângulos são proporcionais e os ângulos entre esses lados são congruentes.

Como temos dois lados proporcionais (com ângulos entre eles congruentes), por consequência, o terceiro lado deles também será proporcional.

3a situação: os três lados dos triângulos são proporcionais.

Ótimo! Então, agora que já entendemos como a semelhança de triângulos funciona, vamos ver o que o Beto fez para calcular a largura do rio. Vamos fazer um esquema como se fosse visto do alto do rio para facilitar, ok? Perceba que, se Beto estivesse no ponto B, ele teria a visão em linha reta até o outro lado do rio, no ponto A; já se Beto estivesse no ponto C, teria uma leve inclinação nessa linha (na linha de visão). Observe na imagem 24 que podemos traçar um triângulo imaginário com ABC, certo? As dimensões da plataforma em que o Beto se encontra foram medidas por ele mesmo. Assim, ele sabe que BC vale 3 m. Para poder usar a semelhança de triângulos, Beto traça uma reta DE (que vale 2 m, já que é a largura da plataforma) e mede o segmento CE, chegando ao valor de 0,5 m.

Agora que ele já traçou os triângulos e sabe os valores dos lados que interessam, basta aplicar a relação da semelhança de triângulos para encontrar a largura do rio:

O segmento AB vale 12 m, mas não necessariamente essa é a largura do rio, concorda? Lembra que ele está considerando 2 m de largura da plataforma. Então, no fim das contas, a distância entre uma margem do rio e a outra é de 10 m. Assim, o tio do Beto resolveu o problema, com a ajuda da nossa maravilhosa geometria e do método da paralaxe! Aliás, esse método é muito utilizado pelos astrônomos/astrofísicos para calcular a distância de estrelas!

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