As relações de Girard são baseadas em associar as raízes de um polinômio com seus coeficientes. Ou seja, a partir dos coeficientes de um polinômio, você consegue encontrar as raízes dele. Vamos estudar essas relações para polinômios de grau 2, 3 e n, ou seja, para qualquer grau.
► Para polinômios de grau 2
Vamos considerar um polinômio genérico em que a (com a diferente de zero), b e c são os coeficientes e r1 e r2 são as raízes. Lembre que, como é um polinômio de grau 2, teremos apenas duas raízes. Veja como ficam as relações entre os coeficientes e as raízes:
Que, como já havia sido dito, são as equações de Soma e Produto que já vimos no capítulo de Álgebra II.
► Para polinômios de grau 3
Agora, considere o polinômio de grau 3 a seguir, em que a, b, c e d são os coeficientes e r1, r2, r3 são as raízes:
Note que agora temos uma equação a mais. Isso porque temos uma raiz a mais, ok?
Para Polinômios de Grau N:
Vamos assumir que o polinômio de grau n é um polinômio de grau maior ou igual a 1 (nesse caso, você pode entender que o grau n é maior do que 3, porque as relações anteriores são mais simples de lembrar) e que tem como coeficientes an, an-1, an-2, …, a1 , a0 e raízes r1, r2, r3, …, rn-1, rn.
Não faremos a dedução aqui, mas, utilizando o raciocínio dos casos anteriores, teremos o seguinte:
► A soma das n raízes é:
A soma dos produtos das raízes tomadas:
► Duas a duas:
► Três a três:
► Quatro a quatro:
► P a p:
► O produto das n raízes é:
Com essas equações, você é capaz de resolver inúmeros problemas, mas analise a viabilidade na utilização delas para não perder muito tempo nas questões, ok?