É muito comum ouvirmos ou falarmos frases do tipo “quanto mais você estudar, melhor vai se sair na prova”, “quanto menos você dormir, mais cansado vai ficar”, “quanto mais você beber água, mais ficará hidratado”, entre inúmeras outras. Perceba que essas frases têm em comum relações entre duas coisas, ações, resultados, grandezas:
► Estudo x resultado da prova,
► Sono x cansaço,
► Água x hidratação.
Essa relação entre as grandezas pode ser entendida também como de proporcionalidade, podendo ser diretamente ou inversamente proporcional. Como assim? Por exemplo: quanto mais questões você responder, mais acostumado estará com a realidade da prova; quanto mais você caminhar, mais distância irá percorrer. Você saberia responder se essas relações são inversa ou diretamente proporcionais?
Razão e Proporção
Uma razão é a divisão entre dois números e a proporção é uma igualdade entre razões. Parece estranho? Imagine que você lê uma receita que diz: para cada xícara de achocolatado, coloque três de leite, mas você resolve dobrar essa receita, então precisará de duas xícaras de achocolatado e seis de leite. A razão é a relação entre o número de xícaras de achocolatado e o número de xícaras de leite; a proporção é a relação entre uma receita e duas receitas. Veja abaixo:
A razão de uma receita deve ser lida como “1 está para 3” e a razão da receita dobrada deve ser lida como “2 está para 6”. Como temos uma relação de proporção entre essas razões, dizemos “1 está para 3 assim como 2 está para 6”.
Regra de Três
Agora, você está preparando outra receita que sugere que, para cada colher de açúcar, devem ser colocadas 3,5 de farinha. Sem querer, porém, você colocou 3 colheres de açúcar, então, precisará consertar o estrago colocando o equivalente de farinha. Como fazer isso? Problemas desse tipo são fáceis de resolver de cabeça, mas, às vezes, precisamos de algo mais visual, certo? Por isso, podemos utilizar a famosa regra de três.
Montamos um esqueminha em que
► a quantidade de açúcar da receita A está na mesma coluna que a quantidade de açúcar da receita B.
► a quantidade de farinha da receita A está na mesma coluna que a quantidade de farinha da receita B, que ainda não sabemos qual é.
Estamos comparando as grandezas de diferentes razões de maneira proporcional!
A regra de três propõe uma multiplicação “cruzada”. Veja o procedimento abaixo. Agora, que está tudo bem organizado, vamos fazer a multiplicação cruzada:
Que resultará em:
Para que a proporcionalidade seja mantida, é necessário que você adicione 10,5 colheres de farinha à mistura.
A regra de três é muito útil e também muito simples, basta que você tenha atenção na hora de montá-la, certo?
Sabemos da importância da atividade física regular na vida das pessoas e o quanto ela pode diminuir o risco de algumas doenças. Apesar disso, muita gente alega não ter tempo para se exercitar. Foi pensando nisso que desenvolvedores apresentaram aplicativos para smartphones que contam os passos dados pelo usuário ao longo dia e avisam se ele precisa dar uma caminhada. Outras iniciativas têm o foco levemente diferente, como em países onde as pessoas precisam caminhar muito para se deslocar em busca de serviços básicos. Essas iniciativas, além de contar os passos dos usuários, pagam pela quantidade de passos dados. A empresa desenvolvedora afirma que a intenção é possibilitar uma renda extra a essas pessoas e conta com outras empresas que apoiam a causa da vida saudável como patrocinadoras.
Mas o que tudo isso tem a ver com grandezas diretamente proporcionais? Perceba que todas as informações dadas podem ser resumidas em: quanto mais passos, mais qualidade de vida, ou, ainda, quanto mais passos, mais dinheiro arrecadado. Perceba que a segunda relação pode ser quantificada, ou seja, passos podem ser contados, assim como dinheiro. Vamos supor que, para cada 10.000 passos, se ganhe W$ 1 (1 dólar de bitwalking – uma moeda fictícia). Intuitivamente, você percebe que quanto mais passos forem dados, mais dinheiro será arrecadado. Então, podemos pensar o seguinte: quantos passos são necessários para chegar a ganhar por ano o que a empresa propõe, W$ 450,00? Você consegue perceber que basta uma regra de três para resolver esse problema? Veja:
Fazendo a multiplicação cruzada, chegaremos a:
Então, para conseguir ganhar W$ 450,00, em um ano, uma pessoa precisa dar 4 milhões e meio de passos! Isso significa que, quanto mais essa pessoa caminhar, mais dinheiro vai ganhar. Claramente, você percebe uma relação de proporcionalidade, certo? Mais precisamente, uma relação direta de proporcionalidade, já que o crescimento de uma grandeza implica no crescimento da outra. Grandezas diretamente proporcionais também envolvem decréscimo, desde que ele também aconteça nas duas.