Radiciação de Números Complexos em Forma Trigonométrica

Para entender como calcular a raiz de um número complexo, vamos fazer uma generalização e calcular a raiz enésima (n) do número complexo abaixo:

Podemos dizer que calcular essa raiz consiste em determinar o número complexo w, em que w_n = z (já que o nosso objetivo é fazer (ⁿ√z) ), então, wⁿ – z é:

Podemos supor que w é:

E, portanto, substituindo isso em wⁿ = z, teremos o seguinte:

Sabemos, pela 1^a Lei de Moivre (dá uma olhadinha nela de novo), que:

Então, substituindo esse resultado na igualdade anterior, chegaremos a:

Agora vamos ter que resgatar alguns conhecimentos: i) números complexos iguais têm módulos iguais; ii) números complexos iguais têm argumentos (ângulos) iguais. Isso implica em:

Assim, teremos que:

Em que n assume valores acima ou iguais a 2 e k pertence aos inteiros, ou seja, w_k é a k-ésima raiz n-ésima.

Vamos ver um exemplo para entender como encontrar as raízes cúbicas do número complexo abaixo:

Aplicando a 2^a equação de Moivre, teremos o seguinte:

Como temos n = 3 (raiz cúbica), teremos k = 0, 1 e 2 (três raízes, portanto). Substituindo esses valores de k na equação acima, teremos:

► Para k = 0:

► Para k = 1:

► Para k = 2:

Então, as raízes cúbicas desse número são:

Vamos ver a representação geométrica desses pontos no plano de Argand-Gauss:

Perceba que se ligarmos esses pontos, teremos um triângulo equilátero. Assim, as raízes desse número complexo são os vértices desse triângulo, isso acontece porque, para qualquer n > 2, teremos um polígono fechado com n vértices.

Para saber mais, veja também: