O nosso caminhão chegou com sucesso na Universidade e já está voltando. Dessa vez, o motorista cronometrou a distância percorrida a cada 10 minutos, durante uma hora, sem utilizar o controle de velocidade. A velocidade foi aumentando gradativamente. Por causa disso, a distância percorrida nos primeiros 10 minutos será menor do que a distância percorrida nos 10 minutos seguintes e assim por diante.
Devido a um leve descuido, o motorista não marcou em qual quilômetro estava ao completar uma hora de viagem. Veja na tabela abaixo os valores de quilômetros que ele verificou a cada 10 minutos ao passar pelas placas.
Interpretando essa tabela, veremos que, ao completar 10 minutos de viagem, ele passou pelo quilômetro 4; aos 20 minutos, passou pelo quilômetro 8; ao completar 30 minutos viajando, passou pelo quilômetro 16 e assim sucessivamente. Agora, já podemos identificar duas sequências numéricas nessa tabela, uma em cada coluna. Vamos nos ater à segunda coluna, que é a que não está completa. Você consegue perceber alguma regularidade entre 4, 8, 16, 32 e 64? Veja que 64 é o dobro de 32, que é o dobro de 16, que é o dobro de 8, que é o dobro de 4. Considerando que essa regularidade se mantém, podemos calcular o valor que o motorista esqueceu de anotar, certo? O dobro de 64 é 128. Vamos preencher a tabela com esse valor.
Novamente, temos uma sequência regida por um fator que traz uma regularidade aos termos. Antes, tínhamos que esse fator era uma soma, agora temos um fator de multiplicação e é essa a grande diferença entre uma Progressão Aritmética e uma Progressão Geométrica (PG), que é o que temos nesse caso. Novamente, foi possível calcular o último termo da sequência facilmente, mas esse problema poderia ser bem mais complicado. Por isso, assim como na PA, na PG temos expressões para facilitar a resolução de problemas.
Na PA havia a razão (r), que era o fator somado aos termos (que também poderia estar sendo diminuído, numa PA decrescente), agora temos uma razão (q), que é o fator de multiplicação dessa PG. A razão sempre poderá ser encontrada através do quociente entre um termo (n) e termo anterior (n – 1). Porém, para saber se a sequência é crescente ou decrescente, a análise não é exclusivamente a partir da razão, é importante atentar para o sinal do primeiro termo da sequência. Vamos analisar os casos:
► PG crescente: (3, 9, 27, 81) ou (-2, -1, -0,5, -0,25). No primeiro caso, a razão é 9/3 = 3; no segundo -1/-2 = 0,5, mantendo regularidade entre os termos. Então, termos positivos e razão maior que 1, assim como termos negativos de razão entre 0 e 1, caracterizam PGs crescentes;
► PG decrescente: (-3, -9, -27, -81) ou (2, 1, 0,5, 0,25). O primeiro quociente é -9/-3 = 3 e o segundo é 1/2 = 0,5. Portanto, sequências de primeiro termo negativo, com razão maior do que 1, ou termos positivos e razão entre 0 e 1, caracterizam PGs decrescentes;
► PG alternante: (2, -4, 8, -16). A PG alternante é aquela que alterna entre crescer e decrescer a cada termo. Isso acontece quando a razão é negativa. Veja que -4/2 = -2, assim como 8/-4 = -2;
► PG constante: (2, 2, 2, 2). Essa é facilmente identificável, certo? Sempre que temos q = 1, há uma PG constante;
► PG infinita: (3, 9, 27, 81, 243, 729, …). Assim como na PA, uma PG infinita é identificável a partir das reticências, passando a ideia de que ela continuará multiplicando q infinitamente.
Vamos montar uma tabela para visualizar melhor essas características das PGs:
Lembre que, anteriormente no exemplo, nós calculamos o último termo multiplicando o termo anterior por 2, que era a razão da sequência. Poderíamos ter calculado os termos anteriores da mesma forma, certo?
Vamos ver como o cálculo ficaria, chamando o termo que corresponde à distância aos 10 minutos de a1, o termo que corresponde à distância aos 20 minutos de a2 e assim sucessivamente.
Calculamos um termo a partir do seu anterior multiplicando o quociente, mas, e se não conhecêssemos todos os termos? Se não soubéssemos o a2, por exemplo, poderíamos substituir a primeira igualdade na equação do a3 e, assim, encontraríamos esse termo a partir do a1. Veja abaixo:
Substituindo o valor de a1, que é 4, chegaremos a:
Que é exatamente o mesmo valor que encontramos com outras “técnicas”, certo? Veja que o expoente de q é um número menor do que o termo que está sendo procurado. Portanto, podemos generalizar essa equação em:
Ou ainda, caso não tenhamos o valor de a1, mas de outro termo (ak), podemos reescrevê-la dessa forma:
Vamos tentar encontrar o mesmo termo, a6, a partir dessas equações:
Elas corroboram os resultados que encontramos de outras formas, certo?
Perceba que há um expoente diferente de 1 na equação geral indicando o crescimento (ou decrescimento) da sequência de forma exponencial. Isso fica bastante evidente quando traçamos o gráfico da distância em função do tempo. Veja:
Então, uma PG cresce ou decresce de maneira exponencial, e não linear, como acontece com a PA, ok?
E se quiséssemos saber o somatório de uma PG, como faríamos? É possível realizar a soma de todos os termos de PGs finitas e infinitas (em determinadas condições). No Apêndice, você pode verificar a dedução de ambos os casos. Veja qual será o resultado:
► Soma de PG finita: é exatamente o caso do nosso problema, que possui apenas 6 termos. Veja:
Apesar de não fazer muito sentido somarmos todos os termos do nosso problema, vamos substituir os valores para exemplificar a equação.
É importante frisar que a soma dos termos não é igual ao último termo da sequência, como já foi comentado na PA.
► Soma da PG infinita: Você deve estar achando muito esquisita essa ideia de somar termos infinitos, certo? Mas, como foi dito, essa soma só é possível em condições especiais, como quando o quociente está entre -1 e 1 e a PG está decrescendo. Apesar de ser uma sequência “infinita”, em algum momento chegará a zero ou a um valor tão próximo a zero que pode ser considerado como zero, como, por exemplo, em (2, 1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625…), com razão q = 0,5. Nesse caso, podemos somar todos os termos utilizando:
Aplicando os valores dessa PG de exemplo, teremos:
Portanto, a soma de todos os termos dessa PG infinita é 4!