O caminhão do Me Salva! está a caminho da Universidade e o motorista está cronometrando a viagem. Ele verificou pelas placas da estrada que, quando completou 1 h, havia rodado 80 km, em 2 h foram 160 km, em 3 eram 240 km, em 4 h, 320 km e em 5 h, fecharam 400 km de viagem. Nas quatro horas seguintes, o motorista se descuidou e esqueceu de marcar a quilometragem, mas, na décima hora, percebeu sua distração e viu que havia acabado de passar pela placa de 800 km. Considerando que o motorista saiu do km 0 da rodovia e que manteve o caminhão na mesma velocidade durante todo o percurso, como é possível descobrir por quais placas de quilometragem ele passou nos horários que esqueceu de olhar?
Antes de atacarmos a raiz do problema, vamos fazer uma tabelinha relacionando o tempo com a distância percorrida pelo motorista. Vamos colocar um ponto de interrogação nos horários que ele não anotou a quilometragem.
Uma observação que podemos fazer é que temos a mesma distância percorrida as primeiras 5 horas de viagem: 80 km. Já que sabemos que o motorista manteve a mesma velocidade durante as 10 horas, podemos concluir que ele percorre a mesma distância a cada hora neste segundo intervalo de tempo. Dessa forma, o motorista percorreu 80 km/h ao longo de toda a viagem!
Agora podemos completar a nossa tabela. Na 6a hora, teremos que o motorista passou pelo km 400 + 80, ou seja, ele passou pelo km 480. Fazendo isso para as outras horas, obteremos o seguinte:
Imagine que, em vez de o motorista ter feito 10 horas de viagem, ele e um colega se revezaram e fizeram 50 horas de viagem, mas esqueceram de anotar os quilômetros pelos quais passaram durante 20 horas. Mesmo que os dois tenham mantido exatamente a mesma velocidade, seria viável prever as distâncias e preencher uma tabela manualmente? Claro que é possível, mas dá um trabalhão, né? Então, como sempre, a Matemática está aqui para nos ajudar! Para resolver esse tipo de problema, que tem regularidade linear entre os termos de uma sequência, precisamos estudar sobre as Progressões Aritméticas, mais conhecidas como PAs.
As PAs são caracterizadas por sequências crescentes, decrescentes ou constantes de ordem linear apresentando uma regularidade chamada de razão (formalmente, dizemos que a razão é a diferença entre dois termos consecutivos).
Vamos tentar montar uma fórmula para descobrir em qual quilômetro o motorista passou nas horas 6, 7, 8 e 9 sem termos que somar 80+80+80… uma vez a cada termo.
Na nossa notação, vamos chamar a quilometragem da hora 1 de a1, ada hora 2 de a2 e assim por diante. Reescrevendo os dados da tabela, chegaremos a:
A razão (representada por r) dessa PA é 80. Podemos montar equações para descrever o segundo termo em função do primeiro, o terceiro em função do segundo e assim por diante. Acompanhe:
Perceba que você calcula o termo que necessita a partir do anterior somado à razão. Mas, se quiséssemos saber o 8o termo, seria necessário saber o 7o, e nós não temos essa informação.
Porém, se pensarmos bem, podemos reescrever o terceiro termo em função do primeiro né? Vamos ver isso abaixo:
O que fizemos foi apenas substituir a expressão que obtemos para a2 dentro da expressão de a3
Com essa relação, podemos, portanto, encontrar qualquer termo da sequência sabendo o primeiro termo e a razão. No caso acima, buscamos o terceiro termo, então multiplicamos a razão por 2. E se precisássemos do 4o termo? Seria o termo a1 somado 3r certo? Caso estivéssemos procurando o 6o termo, seria necessário multiplicar a razão por 5 e assim por diante. Isso vai se repetir para qualquer termo da nossa sequência, e podemos generalizar essa equação na forma:
Em que an é o enésimo termo (o termo que você quer encontrar ou o que é fornecido), a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo procurado dentro da sequência e r é a razão.
Vamos tentar encontrar os termos que faltavam na tabela a partir dessa equação:
Condiz com o que encontramos apenas somando a razão na segunda tabela, certo? Portanto, a equação geral é muito importante para encontrarmos termos desconhecidos de PAs.
Caso você não saiba o termo a1, é possível descobrir o termo an
a partir de qualquer outro termo (ak) fornecido pelo problema. Veja como fica a equação:
Note que k é o número do termo que você está utilizando (ak).
A análise gráfica dos dados que obtivemos corrobora a ideia de linearidade da Progressão Aritmética. Veja que temos uma reta ligando os pontos, caracterizando uma Progressão Aritmética e, portanto, se você lembrar das aulas de Física, um Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).
Podemos classificar as Progressões Aritméticas da seguinte forma:
► PA crescente: (2, 4, 6, 8, 10, 12). Perceba que os números estão crescendo a cada 2, certo? Então, se fizermos o segundo termo menos o primeiro, teremos 4 – 2 = 2 e essa regularidade se repete nos outros termos. Portanto, essa PA é crescente e tem razão 2;
► PA decrescente: (12, 10, 8, 6, 4, 2). Agora os números estão
decrescendo a cada 2. Se fizermos o segundo termo menos o primeiro, teremos 10 – 12 = -2, novamente apresentando regularidade nos demais termos. Assim, essa PA é decrescente e tem razão -2;
► PA constante: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3). Veja que a sequência não cresce nem decresce, é constante. Se fizermos o segundo termo menos o primeiro, obteremos 3 – 3 = 0. Dessa forma, a PA é constante e tem razão 0;
► PA infinita: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …). Já sabemos que a razão dessa PA é 4 – 2 = 2, mas perceba que ela não tem fim, o que é indicado pelas reticências (…). Portanto, temos uma sequência infinita.
No caso de PA, é possível analisar se a sequência é crescente ou decrescente apenas analisando o sinal da razão. Então, se a razão for positiva, a PA é crescente; se for negativa, a PA é decrescente.