Fatoração por Termo em Evidência ou Fator Comum
Veja que tanto o 2 quanto o “a” aparecem nos dois termos, são os nossos fatores comuns. Então, podemos reescrever a expressão agrupando esses termos em evidência, e multiplicando os outros termos para obter a expressão original:
Lembre que, mesmo que façamos a fatoração, o resultado da expressão será o mesmo. Ou seja, a partir da expressão fatorada devemos sempre poder voltar ao formato original dela.
Agora que já sabemos como realizar esse procedimento, podemos iniciar a discussão de produtos notáveis.
Quadrado da Soma
É quando temos dois números, ou um número e uma variável, ou ainda duas variáveis somadas e elevadas ao quadrado. Vamos nos ater aos termos fatorados e aplicar a distributiva, o famoso chuveirinho. Observe as setinhas:
Ou seja, multiplicaremos o primeiro termo do primeiro parênteses por cada termo do segundo; em seguida, faremos o mesmo procedimento com o segundo termo. Temos como resultado:
Perceba que a x b é o mesmo que b x a, então podemos reescrever dessa forma:
É muito comum que se ensine um mantra para lembrar desse resultado:
“O quadrado do primeiro, + duas vezes o primeiro pelo segundo, + o quadrado do segundo”.
É incrível o empoderamento matemático que a identificação rápida e instintiva deste produto notável traz para o estudante.
Quadrado da Diferença
O procedimento neste caso é exatamente o mesmo do anterior. Veja o resultado:
Perceba que o resultado é bastante semelhante ao anterior, com exceção do sinal de menos. Então, a frase do macete só mudaria nesse detalhe: o quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Produto da Soma pela Diferença
Apesar de também aplicarmos a distributiva, neste caso, a “cara” da expressão muda um pouco. Antes, tínhamos dois termos iguais sendo multiplicados (por isso eram elevados ao quadrado). Agora, temos dois termos iguais, exceto pelo sinal, sendo multiplicados. Acompanhe:
O resultado dessa operação tem apenas dois termos! Isso acontece porque os outros dois termos se anularam.
Cubo da Soma
Apesar de parecer apavorante, é muito simples, ainda mais agora que você já sabe o resultado do quadrado da soma. Veja como o cubo pode ser reescrito:
Isso é possível porque, como você viu no capítulo de Aritmética I, quando temos bases iguais sendo multiplicadas, os expoentes devem ser somados. Como você já sabe o resultado do termo ao quadrado, podemos reescrever da seguinte forma:
E, agora, é hora de aplicar a distributiva! Vai ficar um pouco maior, mas é só você se organizar para não se perder! Vamos utilizar as setas?
Isso resultará em:
Reagrupando os termos, chegaremos a:
A chave para resolver esse tipo de operação é a organização. Então, fique atento e não economize na hora de escrever os termos, ok?
Cubo da Diferença
O procedimento é o mesmo do anterior. Vamos, primeiramente, dividir os termos, substituir o termo ao quadrado pelo resultado que já sabemos e resolver o restante. Acompanhe:
Resultado muito parecido com o anterior, exceto pelos sinais, percebe? Então, novamente, muita atenção! Perceba ainda que os produtos notáveis são muito úteis tanto para expandir um termo, como fizemos, quanto para comprimi-los, já que você pode realizar o caminho inverso do que acabamos de fazer. Agora que você aprendeu todas essas “técnicas”, está preparado para a resolução de problemas?