O telhado de casas, as colmeias, os pedaços de torta, o cubo mágico, as peças de montar e os tijolos possuem uma característica em comum, todas são descritas pelo mesmo sólido, com características um pouco diferentes: os prismas. Eles podem ser prismas triangulares, retangulares, quadrados, pentagonais, hexagonais ou qualquer outro polígono que já estudamos. Isso acontece porque os prismas possuem como bases polígonos regulares (ou irregulares 1), que são ligados por linhas retas, formando uma lateral retangular (paralelogramo). Ou seja, um prisma triangular possui bases compostas por triângulos, assim como um prisma hexagonal possui bases compostas por hexágonos e assim por diante. Veja os exemplos:Ta
1 Você poderá se deparar com prismas oblíquos, mas, entendendo os primas regulares apresentados nesse texto, conseguirá tirar de letra problemas envolvendo outros tipos desses sólidos.
As bases dos prismas são ligadas por linhas retas que denominamos arestas e a junção delas forma o que chamamos de vértices. Cada lado (ou base) dos sólidos é chamada de face. Essa nomenclatura é aplicada tanto em prismas quanto em outros tipos de sólidos e é importante que você tenha familiaridade com ela. Veja um exemplo:
As arestas estão marcadas em preto, os vértices estão circulados e as faces são as partes planas, que formam o sólido. Existe um teorema bem útil para algumas questões que relaciona o número de faces, vértices e arestas de poliedros convexos. Ele é chamado de Teorema de Euler, e diz que: V – A + F = 2, onde ‘V’ é o número de vértices, ‘A’ é o número de arestas e ‘F’ é o número de faces.
Antes de aprendermos a calcular o volume desses sólidos, vamos analisar a área dele, que é calculada a partir da área de cada uma das faces dessa figura. Para isso, realizamos um procedimento chamado de planificação. Note que a área dos sólidos se refere à superfície dele que, planificada (vem de plano, ou seja, duas dimensões), fica mais fácil entender e calcular. Provavelmente, você já trabalhou com a planificação de um sólido na infância, afinal, quem nunca ganhou um jogo que necessitasse a montagem de um dado, tendo que recortá-lo, dobrá-lo e colá-lo? Lembra disso? Pois agora você fará o caminho contrário. Você já tem o dado montado, agora precisa desmontá-lo. Veja como ficam alguns prismas planificados.
Perceba que as linhas pontilhadas demonstram as dobras que você desfez. Além disso, note que o número de arestas da base corresponde ao número de faces laterais. Por isso, quando temos um prisma triangular, que tem 3 arestas na base, temos também três laterais. Veja como essa informação procede contando as arestas e faces laterais dos outros prismas.
Depois dessa análise, podemos realizar o cálculo da área dessas superfícies. Aqui, a premissa é de que a área total é a soma da área das bases (lembre que são duas) e a área lateral dos sólidos. Assim, a área de um prisma será sempre:
Área Prisma Triangular
Vamos assumir que o triângulo que forma as bases desse prisma é equilátero, mas poderia ser qualquer um, ok? Veja:
A lateral é formada por três retângulos, então faremos a área do retângulo multiplicada por 3:
Portanto, a área total será a soma dessas duas equações, multiplicando a área da base por 2, como já havia sido explicado, e realizando algumas manipulações matemáticas, chegaremos a:
Área Prisma Quadrado
Nesse prisma, as bases são quadrados e a lateral são quatro retângulos. Relembre as áreas desses polígonos abaixo:
Portanto, a área total desse prisma será:
Área Prisma Hexagonal
Como temos bases hexagonais, a lateral será formada por seis retângulos. Então, as áreas da base e da lateral serão definidas por:
E a total será, depois de algumas manipulações:
Abordamos apenas as áreas dos prismas mais comuns, mas, sabendo que a área total é a soma de duas vezes a área da base com a área lateral, você resolve qualquer problema que envolva outros tipos.
Visto tudo isso, agora podemos nos ater ao volume desses mesmos sólidos que dedicamos um tempo a mais. Lembre que já vimos que o volume leva em consideração as três dimensões: a altura, a largura e a profundidade do sólido, certo? Ótimo! Então, para sabermos qual é o volume de um sólido basta que façamos a área da base multiplicada pela sua altura. Consegue perceber como isso faz sentido? A base é composta por largura e profundidade, então, ao multiplicá-las consideramos duas dimensões, que compõem a área da base. Quando multiplicamos essa área com a altura, estamos finalmente considerando as três dimensões e, portanto, encontramos o volume do sólido, ou seja, o espaço que ele ocupa! Assim, o volume de um prisma é dado por V = Ab.h. Vamos analisar as equações de volume para cada um dos sólidos acima:
Volume Prisma Triangular
A área da base desse prisma é simplesmente a área de um triângulo equilátero, assim, multiplicando a altura teremos a seguinte equação:
Volume Prisma Quadrado
A área do quadrado é a multiplicação dos lados, que são iguais. Quando multiplicamos a altura e a área da base, chegamos na imagem abaixo:
Agora veja ao lado que caso a altura tivesse a mesma medida do lado, ou seja, se tivéssemos um cubo, o volume seria:
Volume Prisma Hexagonal
A área da base desse prisma é apenas a área de um hexágono, então, ao multiplicarmos a altura a ela teremos a fórmula ao lado.
Assim como no cálculo da área dos outros, sabendo a área da forma geométrica da sua base e sua altura, você consegue descobrir qual é o volume sem precisar necessariamente de uma fórmula. Basta que você lembre que precisa multiplicar as três dimensões.