Você pode até não saber, mas já tem muita familiaridade com um tipo de polinômio. As equações de primeiro e de segundo graus que estudamos até agora são polinômios de grau um e de grau dois, respectivamente. A grande diferença é que a classe dos polinômios engloba não somente as equações de 1o e 2o graus, mas de graus muito maiores também e é nesse tipo de equação que vamos focar agora. O esquema abaixo diferencia polinômios e não polinômios.
Um polinômio que possui apenas dois termos também é chamado de binômio; se possui apenas um termo, é chamado de monômio. Perceba que equações que possuem expoentes fracionários ou negativos não são polinômios.
Podemos generalizar os polinômios pela equação abaixo:
Em que:
é chamado de polinômio complexo da variável complexa;
são os coeficientes;
são os termos;
é o termo independente da variável x.
Vamos identificar esses itens a partir do polinômio
que também pode ser escrito dessa forma (mostrando todos os termos):
é o polinômio complexo da variável complexa;
Os coeficientes são os números que acompanham a variável x, portanto:
Os termos são cada “pedacinho” do polinômio:
E o termo independente da variável x é 7.
Outra informação que podemos tirar de um polinômio logo de cara, só olhando pra ele, é o seu grau (definido formalmente por gr(p) = n) e o valor do coeficiente dominante. O grau nós estudamos em outro momento que é o valor do maior expoente da variável x. O coeficiente dominante é o valor que acompanha essa variável de maior expoente. Por exemplo:
Lembre-se que o grau do polinômio indica o número de raízes que ele tem, ok? Encontrávamos 2 raízes no caso das equações de segundo grau, já que o grau daquele polinômio é 2. Agora vamos encontrar mais raízes, já que trabalharemos com polinômios de graus maiores.
Caso você se depare com uma situação que solicite o valor numérico do polinômio para x igual a um número alfa
basta substituir esse número no lugar de x do polinômio. Veja um exemplo:
Então, o valor numérico deste polinômio para x = 3 é 114. Caso esse valor fosse zero, significaria que encontramos uma das raízes do polinômio (lembre-se que as raízes também são chamadas de zeros). Veja outro exemplo:
Calculamos os valores numéricos do polinômio para x = 4, x = 3, x = 2, x = 1 e x = 0 e encontramos p(3) = 0, portanto, 3 é uma das raízes do polinômio. Se tivéssemos continuado o teste, veríamos que p(-1) = 0 e, assim, também é uma raiz desse polinômio. Claro que existem métodos mais ágeis de encontrar as raízes de um polinômio. Imagine que você está trabalhando com um polinômio de grau 10 e precisa encontrar as raízes. Você ficaria testando números por um bom tempo, certo? E seria bem fácil errar as continhas e se perder de vez, né? Vamos estudar alguns métodos mais eficazes, mas, antes, precisamos aprender a realizar operações com polinômios.