Você conhece esse sólido a partir das construções milenares tanto dos egípcios quanto dos maias, astecas ou outras antigas civilizações, certo? Essas construções fantásticas são parecidas com os prismas com uma grande diferença, no lugar de duas bases, as laterais das pirâmides são interligadas em um único ponto, um vértice e apenas uma base. Isso muda bastante a característica do sólido, que terá triângulos como laterais, no lugar dos retângulos que vimos anteriormente, porém, assim como nos prismas, a base pode ser composta por qualquer polígono regular. Veja as figuras de pirâmides com bases quadrada e hexagonal:
Você pode planificar os sólidos da forma como preferir, vamos fazer isso de duas formas no caso das pirâmides. Veja:
Perceba que, novamente, temos que o número de arestas da base fornece o número de lados da pirâmide, que são basicamente triângulos. Note, ainda, que a altura dos triângulos que formam a lateral é chamada de g (geratriz), que podemos encontrar se aplicarmos o Teorema de Pitágoras (se tivermos a informação do quanto vale a base do triângulo e o lado dele). A área dessas pirâmides é dada fazendo a soma da área da base com a área lateral.Vamos analisar essas duas.
Pirâmide com Base Quadrada
A área da base dessa pirâmide você sabe calcular, né? A área lateral, como você pode perceber pelo desenho planificado, é 4 vezes a área do triângulo. Assim, teremos o seguinte:
E a área total será:
Pirâmide com Base Hexagonal
Novamente, a área dessa base você já sabe calcular, basta lembrar da área do hexágono. E a área da lateral, que são 6 triângulos, basta multiplicar a área de um deles por 6. Veja como ficam as áreas da base e da lateral:
Então, a área total será:
Agora que já sabemos a área das pirâmides, podemos abordar como é calculado o volume delas, que é descrito por um terço do volume de um prisma. Veja como fica o volume do prisma:
Caso a base da pirâmide seja quadrada, teremos:
Se a base for outro polígono, basta substituir a área dele na equação anterior.
Existe uma relação que diz que “duas pirâmides com a mesma altura e com áreas das bases iguais têm o mesmo volume”, que é chamado de princípio de Cavalieri. Vamos utilizá-lo mais tarde, por enquanto, deixe-o guardado na cabeça.
Tronco de Pirâmide
Quando “cortamos” uma pirâmide na horizontal, obtemos uma pequena pirâmide, no topo, e na base o que chamamos de tronco de pirâmide. Veja abaixo:
Vamos planificar o tronco para poder calcular sua área. Veja:
Perceba que, diferentemente do prisma, apesar de termos duas bases, elas são de tamanhos diferentes (embora sejam formadas pelo mesmo tipo de polígono).
Note que a lateral do tronco é formada por 6 trapézios cuja área é calculada abaixo.
Lembre que, como uma base é menor do que a outra, as áreas desses dois hexágonos serão diferentes, por isso precisamos calculá-las separadamente. Veja na figura acima que o lado da base maior é l1 e o lado da base menor é l2.
Então, a área total do tronco será:
E o volume do tronco é calculado a partir da diferença entre o volume da pirâmide original e o da pirâmide pequena (a que sobrou quando cortamos a maior). Se preferir, veja a dedução no Apêndice. O resultado é:
Veja que b se refere à base menor e o B se refere à base maior.