Assim como realizamos operações com números, podemos realizar operações com matrizes. Vamos ver exemplos de como isso funciona:
Adição e Subtração
Para realizar essas operações, é necessário realizar a adição ou a subtração elemento a elemento. Vamos utilizar as matrizes A e B que vimos lá no início do capítulo como exemplo:
Note que, tanto na adição quanto na subtração, você obterá uma nova matriz como resultado da operação realizada.
Propriedades da Adição de Matrizes
Suponha que as matrizes A, B e C têm a mesma ordem (ou seja, mesmo tamanho vertical e horizontal):
► Propriedade associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
► Propriedade comutativa: A + B = B + A
► Elemento neutro: A + 0 = A
0 representa a matriz nula de mesma ordem.
► Elemento oposto: A + (- A) = 0
Multiplicação
Podemos realizar a multiplicação de matrizes de duas formas, multiplicando uma matriz por um número real ou multiplicando a matriz por outra matriz. Para esse último procedimento, a ordem das matrizes envolvidas é essencial. Veremos exemplos a seguir.
► Por número real: a multiplicação de um número real por uma matriz é realizada multiplicando elemento a elemento por esse número. Veja:
Note que não temos a operação de “divisão de matrizes por número real” justamente porque, ao realizarmos a multiplicação por um número fracionário, estamos realizando uma divisão.
► Por matriz: para realizar essa operação (C x D), é necessário que o número de colunas da matriz C seja igual ao número de linhas da matriz D. Além disso, a matriz resultante dessa multiplicação será definida pelo número de linhas de C e de colunas de D. Parece difícil, mas, genericamente, isso pode ser escrito da seguinte forma:
Vamos ver um exemplo para entender melhor:
Ok! A primeira parte está certa! Agora, precisamos realizar a multiplicação. Para isso, você vai somar as multiplicações dos elementos da primeira linha da matriz C com os elementos da coluna da matriz D. O valor dessa soma será o primeiro elemento da matriz CxD. Em seguida, você vai somar as multiplicações dos elementos da segunda linha da matriz C com os elementos da coluna da matriz D. Esse valor será o segundo elemento da matriz CxD, que já vimos ser de ordem 2 x 1. Parece difícil de novo, né? Mas, acompanhe o exemplo:
Para não errar a multiplicação de matrizes, é interessante tomar alguns cuidados. O primeiro é avaliar se a multiplicação é possível analisando o número de linhas e de colunas de cada matriz. O segundo é que, a partir da análise anterior, você tem como saber a ordem da matriz que resultará dessa multiplicação, então, desenhe uma matriz “fantasma”, em que você apenas preencherá os valores, como foi o primeiro passo da multiplicação acima. Assim, fica mais fácil de acertar a posição do elemento que você está calculando!
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
► 1a propriedade: associativa
Sejam as matrizes Amxn, Bnxp e Cpxr, temos: (A.B).C = A.(B.C).
► 2a propriedade: distributiva à esquerda
Sejam as matrizes Amxn, Bnxp e Cnxp, temos: A.(B+C) = A.B + A.C
► 3a propriedade: distributiva à direita
Sejam as matrizes Amxn, Bnxp e Cnxp, temos: (A+B).C = A.C + B.C
► 4a propriedade: elemento neutro
Sejam as matrizes Amxn e as matrizes identidade Im e In, temos: Im.A = A e A.In = A.
► 5a propriedade
Sejam as matrizes Amxn e Bnxp e o número k pertence aos Reais, temos: (k.A).B = A.(k.B) = k.(A.B)
► 6a propriedade
Sejam as matrizes Amxn e Bnxp, temos: (A.B)t = Bt .At
► Transposta: às vezes, temos a necessidade de manipular a matriz sem trocar necessariamente sua essência e, para isso, utilizamos esse artifício. Uma matriz transposta é obtida quando transformamos as linhas de uma matriz original em colunas de uma nova matriz, agora chamada de transposta.
