Multiplicação Com Números Complexos

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A multiplicação de números complexos é um pouco mais parecida com o que já fazemos: a famosa distributiva. Depois disso, basta aplicar o que vimos acima sobre a adição de números complexos. Veja os exemplos (dica: não esqueça que i2 vale -1):

Generalizando a multiplicação de números complexos, teremos:

Anteriormente, vimos que números complexos opostos são simétricos entre si em relação à origem. Já quando dois números complexos são simétricos entre si em relação apenas ao eixo dos Reais, diz-se que um é o conjugado do outro. Veja os exemplos abaixo:

Perceba que apenas o sinal da parte imaginária muda. No caso de z6, não apresenta parte imaginária, ou seja, trata-se de um número real e, por isso, seu conjugado será igual a ele mesmo. Vamos ver a representação dos números complexos com seus conjugados geometricamente:

Uma característica interessante dessa modalidade é que, se multiplicarmos um número complexo pelo seu conjugado, o resultado dessa operação é um número real e não-negativo. Veja os exemplos:

Generalizando a multiplicação entre um número complexo e o seu conjugado:

Perceba que cada um dos números e seus conjugados, que marcamos no plano de Argand-Gauss, tem uma distância em linha reta até a origem. Essa distância pode ser calculada a partir do Teorema de Pitágoras e é chamada de módulo do número complexo. Veja os exemplos:

Note que a distância entre o lugar em que marcamos o número complexo z1 e o eixo Real temos um triângulo (entre o eixo Imaginário também, mas precisávamos escolher um deles). Lembre que o Teorema de Pitágoras diz que a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos catetos ao quadrado (para revisar, basta dar uma olhada no capítulo de Geometria Plana I). Por isso, podemos escrever que essa distância entre a origem e o z1 vale √32 + 22, porque os catetos valem 2 e 3, certo? Você consegue visualizar isso melhor a partir da figura abaixo:

E, como foi dito acima, esse valor

é denominado módulo, que é representado por |z1|. Então, o módulo do número complexo z1 é:

Vamos calcular um outro módulo, o de z2:

A representação geométrica desse número complexo é:

Veja que conseguimos traçar um triângulo e aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo desse número:

Perceba que podemos fatorar o número que está dentro da raiz para obter um resultado mais simpático:

Substituindo o valor que obtivemos acima na equação anterior, teremos o seguinte:

Taí, esse é o módulo de z2, ou, simplesmente, |z2|. Generalizando, o módulo de um número complexo é dado por:

Vamos ver algumas as propriedades de módulos de números complexos:

Para saber mais, veja também: