Média Aritmética Ponderada, Geométrica e Harmônica

Média Aritmética Ponderada

Sua professora de história explicou que a avaliação do trimestre será realizada de acordo com o nível de exigência de cada atividade. Para isso, fez a seguinte tabela abaixo:

Você entendeu que ir bem na prova é muito mais importante do que tirar uma boa nota no debate, já que a prova vale muito mais do que o debate (peso 4 contra peso 1). Ao receber as notas das atividades, você preencheu na tabela que a professora forneceu, chegando ao seguinte:

Como você não se saiu tão bem na prova, está curioso para saber se conseguiu ou não ultrapassar a média do colégio, que é 7. Como descobrir qual é a média entre essas notas considerando que as avaliações têm pesos diferentes?

Somar todas as notas e dividir por 4, nesse caso, é insuficiente, já que a prova, por exemplo, vale quatro vezes mais do que o debate. Então, não basta apenas somar os valores, é necessário “ponderar”, ou seja, considerar os pesos envolvidos. Por isso, o tipo de MTC que aprenderemos agora é chamada de média aritmética ponderada.

Na Média Aritmética Ponderada, mais conhecida apenas como Média Ponderada, precisamos realizar o somatório das notas (por exemplo) multiplicados pelos respectivos pesos e dividi-los pelo somatório dos pesos. Formalmente, é como abaixo:

Aplicando ao nosso caso:

A média que você atingiu com suas notas foi de 7,10. Ufa! Felizmente, você conseguiu atingir a média! Caso os pesos não fossem diferentes e você tivesse feito o cálculo utilizando simplesmente a média aritmética, teria chegado a 7,75, valor bem diferente do que encontramos anteriormente, certo?

Média Geométrica

A média geométrica é utilizada, basicamente, quando há variações percentuais em sequência, ou alguma outra Progressão Geométrica. Vamos ver um exemplo para entendermos melhor.

A loja da sua mãe teve aumento de 20% nas vendas em um mês, 12% no mês seguinte e 7% no terceiro mês. Qual foi a média percentual de aumento das vendas da loja nesses três meses?

Para calcular a média nesse caso, você precisa, primeiramente, transformar os valores percentuais para valores amigáveis de se trabalhar. Lembre que expressamos aumento como valores acima de 1 e desconto como valores abaixo de 1. Então, no primeiro mês houve um aumento de 1,20, no segundo mês de 1,12 e no terceiro mês de 1,07.

Para calcular a média geométrica desses valores, basta multiplicá-los e extrair a raiz correspondente ao número de elementos. Veja:

Substituindo os valores decimais que encontramos anteriormente, chegaremos à média:

Então, a média percentual de aumento das vendas da loja nesses três meses foi de 12,8%.

Média Harmônica

Finalmente, chegamos à tão famosa entre os vestibulandos, a média harmônica! Quando uma comissão de concurso propõe a avaliação a partir da média harmônica, significa que é interessante que você tenha um desempenho “harmônico” entre todas os quesitos avaliados, ou seja, que as notas que você tiver em cada quesito sejam bem parecidas, o que, teoricamente, indica que você sabe “um pouquinho (ou muito) de tudo”. Então, principalmente nessa média, quando você destoa muito suas notas, por exemplo, indo bem em matemática, física e química, mas indo mal em biologia, a média tende a diminuir muito. Vamos a um exemplo para entender por que isso acontece:

Você tem as seguintes notas em algumas matérias: 8, 7, 8, 7, 9, 8. Para saber a média harmônica dessas notas, precisamos aplicar a seguinte equação:

Lembre que o símbolo que está no denominador denota um somatório, certo? Então, ao abrirmos essa equação, teremos:

Em que os valores de x são os elementos do conjunto estudado e o n é o número de elementos do conjunto. Substituindo esses valores na equação, teremos:

No caso das notas acima, a média harmônica é 7, 77. Note que as notas que você tinha eram bastante parecidas (“harmônicas”), certo? Agora vamos ver se, no lugar dessas notas, você tivesse o seguinte: 2, 7, 8, 7, 9, 8:

Aplicando os novos valores na equação, teremos:

Note que diferença de 6 pontos entre a primeira nota dos dois grupos implica numa diferença 2,5 pontos na média harmônica. Caso estivéssemos trabalhando com média aritmética, a diferença seria de apenas 1 ponto. Faça o teste! Você precisa chegar em 7,83 no primeiro caso e em 6, 83 no segundo caso.

Entende agora por que no vestibular a comissão utiliza a média harmônica? A ideia é que você saiba um pouco de tudo. Mas, no caso da UFRGS, além de a média ser harmônica, ela também é ponderada, porque, dependendo do curso desejado, umas provas têm pesos maiores do que outras. Osso duro de roer, né? Mas o Me Salva! te ajuda!

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