Medidas de Tendência Central
Será que o cálculo da média de idade de um grupo de alunos com idades diferentes, porém parecidas, é o mesmo feito quando há um grupo de alunos com idades diferentes, porém uma delas é bem maior (ou bem menor) do que as demais? Como é calculada a nota do trimestre que vai para o boletim, considerando que o professor aplicou atividades com pesos diferentes?
Quando realizamos o cálculo da média de um conjunto de dados, estamos preocupados em obter um valor que possa caracterizar, da melhor forma possível, este conjunto. Chamamos de Medida de Tendência Central (MTC) esse valor que busca representar o tal conjunto. Há diversas situações em que necessitamos de um número para representar um conjunto de dados, mas nem sempre a média “simples” (formalmente, média aritmética) realiza a caracterização de forma confiável. Felizmente, temos outras formas de analisar a Medida de Tendência Central de um conjunto de dados, como as médias ponderada, geométrica e harmônica ou, ainda, a moda e a mediana. Estudaremos com detalhes cada uma dessas MTC a partir de agora. Acompanhe!
Média Aritmética
É a mais utilizada para grupos de dados que apresentam pequenas variações entre si. Isso porque, para realizar a média aritmética, basta somarmos todos os valores dos elementos do conjunto e dividir pelo número de elementos. Veja o exemplo:
Qual é a média de idade do seu grupo de estudos, no qual você e seus colegas têm 16, 16, 17, 15, 16 e 16 anos?
Perceba que todas as idades são bem próximas, certo? Note, ainda, que temos 6 elementos neste conjunto (você e 5 amigos). Então, para saber a média (aritmética) das idades, vamos somar todas elas e dividir por 6:
A média de idade do seu grupo de estudos é, portanto, 16 anos. Formalmente, podemos escrever uma equação para a Média Aritmética.
Não precisa se assustar com esse símbolo desconhecido. O nome dele é somatório e ele indica que é necessário somar todos os “x” (elementos do conjunto) de 1 (número que está embaixo do símbolo) até n (número que está acima do símbolo). A letra “i” que acompanha o x é um indexador que indica os número inteiros de 1 até n. Veja como fica ao “abrirmos” essa equação:
Que você pode entender, simplesmente, como:
Agora, vamos analisar outro exemplo: durante os estudos do seu grupo, o pai de um de seus colegas foi chamado para ajudar em um problema. Com isso, vocês resolveram perguntar a idade dele e calcular a média da idade do “novo” grupo: os 6 amigos e o pai de um deles. Qual será a média de idade do grupo, se o pai tem 40 anos?
Note que queremos saber a média das seguintes idades: 16, 16, 17, 15, 16, 16 e 40 anos. Perceba, ainda, que agora há uma idade bem maior do que as outras, certo? Vamos calcular a média a partir da equação que já estudamos e analisar o resultado. Note que, agora, temos 7 elementos no conjunto.
A média aritmética dessas idades é 19,42, mas lembre que a média é uma MTC e que busca caracterizar o todo (o grupo estudado). Perceba que nem sempre a média é um número igual a algum elemento do conjunto, como nesse caso (anteriormente, vimos que a média era também um elemento do grupo). A maioria das idades do grupo está entre 15 e 17, mas a média é pouco mais de 19 anos, que acaba não caracterizando o grupo, certo? Note que esse aumento da média aconteceu por causa do alto valor de apenas um dos elementos. Então, em casos como esse, é necessário utilizar outros tipos de MTC para representar o grupo da melhor forma possível, como a moda e a mediana, que veremos a seguir.
Moda
Quando você percebe que um determinado tipo de calça está na moda? Quando muita gente está usando, certo? A moda, no caso da estatística, é muito semelhante a isso: chamamos de moda aquele valor que mais aparece em um conjunto de dados.
No caso das idades do exemplo anterior, tínhamos que o conjunto de dados era: 16, 16, 17, 15, 16, 16 e 40 anos. Perceba que 4 integrantes do grupo de estudos têm 16 anos, sendo esse o valor que mais aparece nesse conjunto de dados. Nesse caso, a moda é 16. Representamos ela da seguinte forma:
Mo = 16 anos
Mas, e se, por acaso, as idades fossem: 16, 17, 17, 17, 16, 16 e 40 anos, qual seria a moda nesse caso? Note que há 3 integrantes com 16 anos e 3 integrantes com 17 anos, assim, esses dois valores são os que mais aparecem nesse conjunto de dados. Portanto, nesse caso, temos uma MTC bimodal em que a moda são os dois números. Veja a representação:
Mo = 16 e 17 anos
Dependendo do caso, você pode encontrar situações em que a TMC é trimodal (três valores que aparecem igualmente) ou quadrimodal (quatro valores que aparecem igualmente), etc.
Note que essa forma de representar o todo quando algum (ou alguns) elemento é muito maior (ou menor) do que os demais é mais confiável do que fazer apenas a média aritmética, certo?
Vamos ver outra forma de análise abaixo.
Mediana
Sempre que você for analisar a mediana de um conjunto de dados, é essencial que eles estejam em ordem crescente ou decrescente. A partir disso, a mediana é o elemento do centro desse conjunto, caso o número de elementos seja ímpar, ou a média aritmética dos dois elementos centrais caso o número de elementos seja par. Parece estranho, mas é bem simples. Veja o exemplo abaixo em que utilizaremos os mesmos valores dos casos anteriores:
O nosso conjunto de dados é 16, 16, 17, 15, 16, 16 e 40 anos, mas sabemos que, primeiramente, é necessário colocá-lo em ordem crescente ou decrescente. Então, teremos em ordem crescente: 15, 16, 16, 16, 16, 17, 40. Neste caso, temos 7 elementos, então, o elemento central é o 4o elemento, que divide o conjunto em dois:
Então a mediana é 16, que podemos representar como:
Me = 16 anos
Mas, e se o conjunto tivesse 8 elementos, qual seria a mediana do conjunto se não temos um elemento central?
Vamos incluir o seu primo de 17 anos ao grupo para podermos entender isso: 16, 16, 17, 15, 16, 16, 40 e 17. Lembre que, antes de qualquer coisa, é necessário colocar os elementos em ordem crescente ou decrescente: 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 40. Agora, vamos analisar quais são os dois elementos centrais para fazer a média aritmética entre eles:
Casualmente, temos dois elementos iguais no centro do conjunto, mas poderia haver qualquer outro número no lugar desses que, se o número de elementos fosse par, seria necessário calcular a média aritmética deles. Veja como fica no nosso caso:
A mediana desse conjunto de dados é 16, e pode ser representada como:
Me = 16 anos
Note que, assim como a moda, a mediana consegue caracterizar melhor do que a média aritmética um grupo em que um dos elementos destoa bastante dos demais. Vamos analisar outras situações em que as MTC que já estudamos são insuficientes para representar um grupo.