Máximo Divisor Comum (MDC) e os Números Primos

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Ao planejar a sua festinha de aniversário, você teve a ideia de distribuir, na saída, cartões de agradecimento pela presença dos convidados. Para fazê-los, você pediu que sua mãe comprasse pedaços de papel de mesmo comprimento, mas com duas cores diferentes. Ao abrir as embalagens, você percebeu que ela acabou comprando o pedaço de papel azul com 60 cm de comprimento e o pedaço de papel vermelho com 48 cm de comprimento. Para que não sobre papel e para que os cartões sejam iguais, qual deverá ser o comprimento máximo de cada cartão?

Para resolver esse problema, precisamos da ajuda do chamado MDC, ou Máximo Divisor (ou Denominador) Comum, já que nosso objetivo é dividir os papéis para formar os cartões. Acompanhe:

Máximo Divisor (ou Denominador) Comum – MDC

O MDC envolve a análise entre os divisores (naturais) de dois ou mais números, buscando sempre o maior deles. Como assim? Vamos analisar os divisores dos números citados no problema acima:

► O número 60 é divisível por: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
► O número 48 é divisível por: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Os números 60 e 48 têm os seguintes divisores em comum: 1, 2, 3, 4, 6, 12, certo? Mas o maior deles é o 12. Então, o MDC de 60 e 48 é 12. A notação adequada é: MDC (60, 48) = 12. Então, o comprimento máximo de cada cartão deve ser de 12 cm.

Beleza! Mas, e se você tivesse pedaços de 1024 cm e 1256 cm para fazer o mesmo trabalho, teria que calcular cada um dos divisores dos números e depois fazer as comparações? Claro que não! A matemática está aqui para facilitar a nossa vida! Para resolver problemas maiores, podemos utilizar os números primos, lembra deles?

Números Primos

São os números que são divisíveis por eles mesmos e por 1, apenas. Alguns exemplos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 e por aí vai. Para saber se o número é primo ou não, é necessário analisar quais são seus divisores. Em geral, esses que foram expostos são os que você vai utilizar, mas é bom saber como identificá-los, ok? Por exemplo, o número 7 você consegue dividir por 7, que resulta em 1 e por 1, que resulta em 7. O número 13 é possível dividir por 13, resultando em 1 e por 1, resultando em 7. O número 13 é possível dividir por 13, resultando em 1 e por 1, resultando em 13. Isso, de o número ser divisível apenas por ele mesmo e por 1 sempre vai acontecer quando o número for primo. Então, sempre que você precisar identificar um número primo, é necessário fazer esse tipo de “teste”.

Agora que já relembramos o que e quais são alguns números primos,
vamos aplicar esses conhecimentos na resolução do MDC. Monte um
esqueminha como esse abaixo:

À direita da linha vertical, você escreverá o primeiro número primo que pode dividir AMBOS os números; abaixo da linha horizontal você escreverá o resultado dessa divisão. Esse procedimento será repetido até que não seja mais possível dividir os números simultaneamente por um primo:

Depois desse procedimento, nosso interesse está nos números à direita da linha vertical: ao multiplicá-los, chegaremos ao MDC dos números 48 e 60: 2 x 2 x 3 = 12. Exatamente o mesmo resultado que obtivemos anteriormente, de uma forma bem mais simples, certo?

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