Quando estudamos Aritmética, vimos que uma das operações possíveis de se realizar com números reais era a inversão. Para isso, invertíamos o numerador e o denominador. Então, caso nosso objetivo fosse inverter o número 2/3, bastava escrever 3/2 e teríamos o número inverso. No caso das matrizes, também é possível realizar uma operação para obter a matriz inversa. Basta que a matriz em questão (A, por exemplo) seja quadrada e que exista uma outra matriz quadrada (B) que, quando multiplicada pela primeira, resulte em uma matriz identidade (I). Caso essa igualdade seja verdadeira, a matriz B é a inversa da matriz A. Matematicamente, é necessário o seguinte:
Queremos obter a inversa da matriz abaixo:
Para encontrá-la, precisamos arbitrar uma matriz B de mesma ordem. Vamos supor que B é composta por 4 variáveis:
Lembrando que a matriz identidade de ordem 2 é essa:
Agora, podemos multiplicar A e B e igualar a matriz que obteremos à identidade. Assim, conseguiremos encontrar os valores que compõem B, que é a matriz inversa. Acompanhe:
Relembre a regra de multiplicação de matrizes. Faremos as operações da primeira linha de A com as colunas B e depois da segunda linha de A com as colunas de B.
Podemos igualar os elementos da matriz A.B com os da matriz identidade, formando dois sistemas. Veja:
Agora, você terá que lembrar como é feita a resolução desses sistemas. Um dos métodos é o da adição. Vamos resolver esses dois sistemas separadamente, iniciando pelo primeiro. Multiplicando a segunda linha por -1 conseguiremos encontrar o valor de c.
Agora é possível substituir esse valor na primeira linha e encontrar o valor de a.
Voltando ao sistema 2, vamos, novamente, multiplicar a segunda linha por -1 e encontraremos o valor de d.
Substituindo esse valor na primeira linha, obteremos o valor de b.
Ótimo! Agora que já temos todos esses valores, basta substituí-los na matriz B. Acompanhe:
E, então, essa é a matriz inversa de A. Mas, para termos certeza de que a A.B = I, vamos terminar essa conta:
Então, tá certo! A igualdade procede, B é realmente a inversa de A!