Na mesma visita que você fez à escola, você soube que seu primo também esqueceu de pagar a multa da biblioteca, que também iniciou em R$ 2,00. Como ele havia retirado mais livros do que você, o crescimento da dívida não foi o mesmo e ele estava devendo R$ 18,00. Quanto tempo ele ficou devendo? Vamos atacar esse problema montando uma equação exponencial como a do problema anterior:
Lembre que o primeiro passo é aplicar a redução de base, certo? Então vamos fatorar o número 18:
Substituindo o número fatorado na equação teremos:
Perceba que agora não temos bases iguais, então, como faremos esse cálculo? Vamos conhecer uma operação para podermos resolver este tipo de problema, o chamado logaritmo.
Vamos deixar um pouco de lado o nosso problema para iniciarmos o estudo dos logaritmos com um exemplo mais simples. Vimos anteriormente que o resultado de 2x = 32 é x = 5, certo?
O conceito de logaritmo reescreve esse resultado como:
“5 é logaritmo de 32 na base 2”, ou, ainda:
Que é o mesmo que: 25 = 32. Para você saber como montar o logaritmo, veja o esquema, que alguns gostam de chamar de “orelhinha”:
Então, saindo do 2 e indo até o resultado, chegamos ao logaritmando. Veja que o logaritmo é equivalente à exponencial:
Sabendo disso, vamos conhecer como se chama cada um dos termos do logaritmo:
► a é a base e deve sempre ser > 0;
► b é o logaritmando e deve sempre ser > 0;
► c é o logaritmo;
Assim, podemos dizer que c é o logaritmo de b na base a. Será muito comum a utilização de base igual a 10, como:
Fique atento, pois, assim como quando temos um expoente 1 podemos omiti-lo, quando temos base decimal no logaritmo também podemos omiti-la. Então, sempre que a referência for apenas “log”, sabemos que a base é igual a 10.
Consequências da definição de logaritmo
► loga 1 = 0, para a > 0 e a ≠ 1.
Exemplo:
► loga a = 1, para a ≠ 1.
Exemplo:
► loga an = n, para a > 0, a ≠ 1 e n.
Exemplo:
► loga b =loga c → b = c, para a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0.
Exemplo:
► a loga b = b, para a > 0, a ≠ 1 e b > 0.