Introdução Números Complexos

Matemática Deixe um comentário

No capítulo de Álgebra II, estudamos como seria possível encontrar os comprimentos dos lados de uma mesa a partir de uma “charada”, que dizia que um lado era 3 metros menor do que o outro e que a mesa deveria ter 10 m2. Para descobrir esses lados, montamos uma equação, que descobrimos ser de segundo grau, e a resolvemos utilizando a fórmula de Bhaskara. Vamos relembrar:

► Equação de 2o Grau:

► Fórmula de Bhaskara:

Antes de sair calculando adoidado as raízes da equação, convinha ser feita uma análise do discriminante. Dependendo do valor dele, teríamos tipos diferentes de raízes. Veja:

► Se delta > 0: A equação tem duas raízes reais e distintas.
► Se delta = 0: A equação tem apenas uma raiz real.
► Se delta < 0: A equação não possui raízes reais.

Realizando o cálculo do discriminante referente ao problema acima, encontramos o seguinte (caso você não lembre dos detalhes até aqui, vale a pena revisar o capítulo de Álgebra II):

Nesse caso, teremos duas raízes reais e distintas e, para encontrá-las, basta finalizar o cálculo substituindo o valor encontrado acima na raiz quadrada da fórmula de Bhaskara, chegando em:

Encontramos duas raízes reais, como esperávamos, apesar de apenas uma delas ser solução do problema inicial (o comprimento da mesa não pode ser negativo).

Até aqui fizemos apenas uma revisão, certo?

Vimos, nessa revisão, que caso o discriminante fosse zero, teríamos apenas uma raiz real, mas, caso fosse negativo, não teríamos raízes reais. Mas o que significa não ter raízes reais? Vamos tentar entender isso a partir da equação de segundo grau abaixo:

Ao calcularmos o discriminante dessa equação, chegaremos a:

Chegamos a um discriminante negativo, logo, a equação que estamos estudando agora não possui raízes reais. Vamos substituir o valor do discriminante na fórmula de Bhaskara para tentar encontrar raízes não reais:

Aqui, encontramos um problema. Sabemos que não existe raiz quadrada de número negativo, então, o que fazer?

Note que podemos reescrever -4 como a multiplicação de 4 por -1, certo? Vamos substituir o -4 de dentro da raiz por 4.(-1):

Veja que podemos tirar a raiz quadrada de 4, deixando o -1 na raiz:

Para conseguirmos resolver essa raiz negativa, precisaremos utilizar um novo artifício matemático. Vamos substituir -1 por uma unidade imaginária (representada por i) ao quadrado, ou seja, i2:

Como i está elevado ao quadrado dentro de uma raiz quadrada, podemos cortar a potência com a raiz e obteremos o seguinte:

E agora? Como encontramos as raízes? Como tiramos aquele “i” dali? A verdade é que não tiramos. Um número que contém esse “i” é um número que faz parte do conjunto dos Números Complexos. Por isso, nesse caso, teremos duas raízes complexas (lembre que chamamos o i de unidade imaginária) como solução dessa equação. Para encontrar essas raízes, precisaremos estudar como resolver as operações básicas com números complexos, assim como fizemos com os números naturais, inteiros, reais etc.

Curiosidade: Segundo registros históricos, a unidade imaginária i surgiu a partir da fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver equações de terceiro grau em meados de 1545. Isso porque alguns termos dessa fórmula, às vezes, recaíam em raízes quadradas de números negativos. Outro matemático que enfrentou problemas desse tipo e que recorreu ao que hoje conhecemos por números complexos foi Rafael Bombelli, na mesma época que os outros dois matemáticos acima. As ideias desses estudiosos soavam esquisitas perante a “sociedade matemática” da época deles. Esses números só foram realmente utilizados no século XVIII, porque Carl Friedrich Gauss (que é considerado o príncipe dos matemáticos) começou a utilizá-los em suas representações matemáticas. Além disso, Gauss sugeriu que esses números fossem chamados de “números laterais”, porque eles existem, assim sendo, não são “imaginários”. Ele usou um argumento geométrico para causar uma “rotação” de 90o entre números num plano (plano complexo), onde o -1 representava uma rotação de 180o.

Para saber mais, veja também: