Anteriormente, estudamos equações exponenciais e logarítmicas, ou seja, expressões que envolviam igualdade. Mas, às vezes, não precisamos necessariamente de valores exatos, podemos simplesmente ter um intervalo em que a equação é válida e é aí que entram as inequações exponenciais e logarítmicas, expressões que envolvem desigualdade. No fim das contas, você perceberá que a resolução de inequações não é muito diferente das equações, mas é necessário atentar para alguns detalhes. Vamos analisá-las separadamente.
Inequação Exponencial
Vamos analisar a inequação abaixo:
O primeiro passo é realizar a redução de base. Vamos fazer isso do lado direito da inequação. Fatorando 25, teremos:
Agora o procedimento é o mesmo que vimos anteriormente. Basta substituir o valor fatorado na inequação, “cortar” as bases – que agora são iguais – e resolver a inequação.
Portanto, x deve ser maior ou igual a 4 para satisfazer essa inequação. Um detalhe muito importante que você precisa lembrar é que se a desigualdade é invertida se A estiver entre 0 e 1.
Inequação Logarítmica
A resolução de inequações logarítmicas é muito parecida com a de equações logarítmicas. Vejamos:
Novamente o primeiro passo é analisar a condição de existência. Como a incógnita está no logaritmando, é necessário analisarmos se b > 0. Perceba que agora o sinal da inequação não está influenciando em nada; o sinal presente é da condição de existência. Então, acompanhe:
Vamos guardar essa informação para mais tarde, ok? Perceba que temos logaritmos de mesma base em ambos os lados da inequação, portanto, podemos utilizar a propriedade abaixo (que também é válida para desigualdades):
E resolver a inequação:
Lembre-se: caso a estivesse entre zero e um, seria necessário inverter o sinal da inequação, ok?
Precisamos analisar a resposta a partir da condição de existência e do valor que encontramos para x. Veja os gráficos:
Perceba que o último gráfico é a intersecção entre a condição de existência e os valores possíveis para x. Então, o conjunto solução dessa inequação será:
