Inequações de 1° Grau

Estudantes que prestarão a prova do ENEM deverão responder, no primeiro dia da prova, 90 questões no tempo mínimo de 2 horas e de no máximo 4 horas e 30 minutos. Os professores procuram chamar bastante atenção para um ponto muito importante, o treino da prova, ou seja, os simulados. Participar desses simulados é fundamental pra que o estudante chegue na prova familiarizado com as características das questões e, assim, possa realizar a prova com mais tranquilidade.

Outro quesito em que os simulados ajudam bastante é o treino no tempo de resolução de cada questão. São 90 questões para fazer em, no máximo, quatro horas e meia e, no mínimo, 2h. Isso significa que é pouco ou muito tempo? Para respondermos essa pergunta, vamos começar a utilizar sinais que, a partir de agora, serão chamados de sinais de desigualdade (maior ou igual, menor ou igual, maior, menor ou diferente).

Fique tranquilo, o procedimento é muito parecido com as equações.

Você consegue perceber que podemos montar uma “equação” relacionando o número de questões com o tempo da prova e o tempo de resolução de cada uma delas? É muito semelhante ao que fizemos na seção anterior, mas, agora, no lugar do sinal de igual teremos uma desigualdade e, por isso, não vamos mais chamá-la de equação, mas de inequação.

Perceba que o número de questões (90) multiplicado pelo tempo de resolução de cada uma delas (t) deve ser menor ou igual a 4,5 horas, pois este é o tempo máximo da prova.

Antes de iniciarmos a resolução, vamos analisar a unidade de tempo do nosso problema. Isso porque, fica difícil visualizar o tempo para cada questão se utilizarmos horas, certo? Pois, provavelmente, esse tempo será apenas uma fração de hora… algo como 0,2 h.

Então, podemos visualizar as horas em minutos, ou segundos. Sabendo que uma hora tem 60 minutos, e um minuto tem 60 segundos, cada hora tem 60×60 segundos, ou 3600 s. Então, 4,5 h:

Vamos substituir esse valor na inequação anterior e resolvê-la:

A partir dessa resolução, temos que o tempo máximo para resolver cada questão deve ser de 180 segundos, ou 3 minutos. Claro que, nesse caso, estamos supondo que cada questão leva o mesmo tempo (t) para ser resolvida e, mesmo sabendo que não é verdade, isso é uma simplificação que nos ajuda a analisar o problema.

Agora, vamos montar a inequação do tempo mínimo de prova, que é de 2 horas:

2 horas, 2 x 3600 = 7200 segundos

E o tempo para cada questão,

Então, se todas as questões forem realizadas exatamente no mesmo tempo, temos 80 segundos para cada questão, ou seja, 1 minuto e 20 segundos.

Podemos fazer a seguinte análise: o tempo mínimo de resolução é 80 segundos e o máximo é 180 segundos, ou seja, o tempo deve estar entre esses dois valores, certo?

Isso pode ser “traduzido” matematicamente como:

Você pode ler de várias formas, uma delas é o que já foi dito, que o tempo de resolução deve estar entre 80 e 180 segundos. Ok, matematicamente, isso está certo. Porém, faz sentido estipularmos um tempo mínimo para a resolução de uma questão?

Quando trazemos os resultados para a realidade, devemos interpretá-los para tomarmos as melhores decisões. Nesse caso, é muito mais relevante que, ao final da prova, cada questão não tome mais de 180 s, né? Caso essa condição não seja satisfeita, não teremos tempo de finalizar a prova, enquanto que, caso a condição de um tempo mínimo seja desrespeitada, nós apenas terminamos mais cedo do que o permitido para deixar a sala.

Uma forma de expressar o nosso resultado é utilizando conceitos de conjuntos. Nesse caso, podemos utilizar todo o conjunto dos Reais, mas isso nem sempre acontece (apesar de ser usual). Por exemplo: se tivéssemos apenas a informação de que t deve ser menor do que 80, você precisaria sinalizar que isso não inclui números negativos, afinal não há como terminar a prova antes de ela começar, ou seja, não faz sentido o tempo ser negativo nesse caso.

Neste problema, a região está bem delimitada, pois o tempo deve estar entre 80 e 180 segundos e pode assumir valores diversos nesse intervalo, por isso, é possível utilizar o conjunto dos Reais. Veja como expressar a resposta de maneira formal:

Lê-se “t pertence aos Reais tal que t é maior ou igual a 80 e t é menor ou igual a 180”. Preste atenção para utilizar a variável correta (na maioria das vezes, temos o x no lugar do t) e o conjunto ao qual pertence a solução (S).

Também é possível expressar matematicamente o tempo da prova:

E a forma de ler é a mesma: do meio para a esquerda, “o tempo de prova (T) deve ser maior ou igual a 2 horas”; do meio para a direita, “o tempo de prova (T) deve ser menor ou igual a 4,5 horas”.

Vamos deixar um lembrete de “nomes” dos sinais e como saber qual é o sinal de maior e qual é o sinal de menor. Depois desse esquema, você nunca mais vai fazer confusão!

Outra forma de memorizar isso tudo, é imaginando o sinal como se ele fosse a boca de um jacaré. Como esse jacaré é guloso, ele sempre come o número maior. Então, veja que, no caso de 5 > 3, a boca do jacaré está tentando abocanhar o 5, que é o número maior. No caso 1 < 2, ela está tentando abocanhar o número 2. Cada maluco com a sua mania!

Assim como as equações, as inequações também têm sua forma geral, que é muito semelhante ao que já estudamos:

Em que “a” deve ser diferente de zero e o sinal de maior ou igual pode ser substituído por menor ou igual, menor, maior ou diferente. Como estamos tratando de inequações de primeiro grau, o expoente da variável (x, nesse caso) sempre será 1.

A resolução de inequações apresenta algumas particularidades, apesar de seguir os mesmos preceitos da resolução de equações. Vamos estudá-las a partir de agora:

Princípio Aditivo

Apesar de ser chamado de aditivo, esse princípio também envolve subtração. Vamos tomar como exemplo a desigualdade 10 > 8 (10 maior do que 8). Essa é uma desigualdade verdadeira. Agora, vejamos o que acontece se adicionarmos ou subtrairmos valores de ambos os lados da expressão.

Adicionando Um Número

Mantemos a nossa premissa de somar zero no valor total da expressão. Como 12 é maior do que 10, a desigualdade foi mantida e o sinal continua o mesmo.

Subtraindo Um Número

Novamente, a desigualdade se manteve, já que 8 é maior do que 6. Note que, quando adicionamos ou subtraímos um número, a desigualdade se mantém.

Princípio Multiplicativo

Assim como no princípio anterior, esse, apesar de ser chamado de multiplicativo, envolve também a divisão. Vamos ver o que acontece com a desigualdade 10 > 8 nos casos abaixo.

Multiplicando por Um Número Positivo

Multiplicaremos ambos os lados por 2.

A desigualdade continua sendo verdadeira.

Dividindo por Número Positivo

Descobriremos o que acontece se dividirmos os dois lados por 2.

A desigualdade também é mantida!

Multiplicando por Número Negativo

Vamos realizar os mesmos procedimentos e analisar o que acontece com a desigualdade se a multiplicamos por um número negativo – no caso, -2.

Que interessante! A desigualdade é INVERTIDA! Como assim? Para manter a coerência, tivemos que inverter o sinal, já que -20 é menor do que -16.

Dividindo por Número Negativo

Dividiremos por -2 para ver o que acontece com a desigualdade.

Novamente, o sinal precisou ser invertido para manter a coerência da desigualdade, já que -5 é menor do que -4.

O objetivo era mostrar para você o porquê de sempre termos que nos manter atentos ao sinal da desigualdade quando nos deparamos com uma multiplicação ou uma divisão por número negativo. Então, se você não gosta de decorar regrinhas, agora já sabe qual é o procedimento para saber quando é hora de inverter o sinal ao realizar a resolução de uma inequação, tanto de uma quanto de duas variáveis. Isso significa que, quando você se deparar com uma inequação, tenha em mente que aquele sinal “diferente” não é um bicho de sete cabeças, beleza?

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