Novamente, não precisaremos construir tabelas para entendermos o comportamento dessas funções; basta analisarmos os coeficientes, as raízes e traçarmos o gráfico entendendo o comportamento dos sinais. Vamos aplicar todos os conhecimentos que aprendemos anteriormente no problema abaixo:
Assim como fizemos nos exemplos de funções aplicadas a inequações de 1o grau, vamos encontrar as raízes dessa inequação de 2o grau. O procedimento é igualar a função que vem antes do sinal de desigualdade a zero, para podermos aplicar a fórmula de Bhaskara normalmente (ou soma e produto, caso você prefira) para encontrá-las. Vamos encontrar o discriminante, veja que a = 1, b = -6 e c = 8:
Como o discriminante é maior do que zero, sabemos que teremos duas raízes reais e distintas, e elas serão encontradas dando continuidade à aplicação da fórmula de Bháskara, como vemos abaixo.
Agora, você precisa lembrar o que são, conceitualmente, as raízes de uma função. O que acontece se substituirmos a variável pelos valores das raízes? O resultado deve ser zero, certo? Senão, não é raiz. Lembre que o problema está pedindo por valores MAIORES do que zero, ou seja, não estamos interessados nesse ponto da função. Logo, quando formos expressar essas raízes no gráfico, será necessário fazer a bolinha sem preenchimento, para que esses valores não sejam incluídos na solução. Se o coeficiente a é um número positivo (nesse caso a=1), então a concavidade da função será para cima.
Conhecendo as raízes e sabendo a concavidade, já podemos esboçar o gráfico dessa função:
Lembre-se que não precisamos expressar o eixo y nessa representação, mas devemos fazer a análise do sinal da função. Então, o que está acima do eixo x é positivo e o que está abaixo é negativo. No nosso caso, para valores de x que vem de -∞ até o 2, a função é positiva, o que está entre 2 e 4, é negativo e, para valores de x maiores do que 4, a função é positiva novamente. Veja como fica a representação:
Note que o problema solicita valores maiores do que zero, então o conjunto solução dessa inequação deve abranger apenas os intervalos positivos que vemos no gráfico. Por isso, x é positivo para valores menores do que 2 e maiores do que 4. Representamos essa solução na forma:
Vamos resolver o problema abaixo, que tem uma cara um pouco diferente:
Nosso primeiro passo é analisar o discriminante. Perceba que os coeficientes são a=-1, b=0 e c=4, já que temos uma inequação de 2o grau incompleta. Então vamos lá:
Como o discriminante é maior do que zero, já sabemos que vamos obter duas raízes reais e distintas. Portanto, aplicando a Bhaskara, encontramos -2 e 2 como raízes.
Agora lembre que o problema pede por valores menores ou iguais a zero, então essas nossas raízes fazem parte da resposta, concorda? Então, os valores -2 e 2 serão representados no gráfico como bolinhas preenchidas. Além disso, analisando o coeficiente A, sabemos que a concavidade da função será para baixo (já que a < 0). Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
Veja que, para os valores abaixo de -2, a função é negativa e, para os valores acima de 2, também. A parte positiva está entre -2 e 2. Perceba:
Veja como esse conjunto solução é representado:
Muito parecido com todas as outras inequações sobre as quais já conversamos, certo? Para resolver problemas desse tipo, você precisa prestar atenção nos detalhes da concavidade da função e nos sinais de igualdade que podem acompanhar, ou não, as inequações.