Vimos no estudo de álgebra que inequações são semelhantes às equações, porém não estão relacionando variáveis através de uma igualdade. Vimos também que as funções podem ser descritas como equações de 1o e de 2o graus e já sabemos como resolvê-las, mas, algumas vezes, estamos interessados em estudar o sinal dessas funções, para verificar se assumem valores positivos ou negativos, e é aí que entram as inequações. A grande diferença aqui é que não precisamos montar tabelas para analisarmos funções que envolvem inequações, mas apenas ver qual é o comportamento do seu gráfico. Nesse momento, é importante que você lembre dos detalhes que comentamos anteriormente: se a função é crescente ou decrescente a partir do coeficiente “a” ou sua concavidade.
Vamos iniciar nosso estudo pelas inequações de 1o grau, que já conhecemos, e depois vamos partir para as inequações de 2o grau.
Inequação de 1º Grau
Temos uma inequação de primeiro grau quando o expoente da variável em questão é igual a 1, assim, teremos uma inequação linear. Vamos analisar a inequação abaixo.
Essa inequação busca encontrar valores de x que fazem com que a função f(x) seja positiva (o sinal indica “maior ou igual a zero”). Como já foi dito, a ideia aqui é fazer uma análise gráfica da situação. Por isso, vamos iniciar encontrando a solução dessa inequação:
Encontramos que x deve ser maior ou igual a 2. O sinal de maior ou igual indica que o 2 está incluso na solução. A forma de representarmos isso no gráfico é preenchendo a bolinha que indica o número 2. Além disso, o coeficiente a dessa inequação, a constante que multiplica a variável “x”, é igual a -1, ou seja, é menor do que zero. Logo, temos uma função decrescente, a reta estará inclinada para baixo. Vamos construir o gráfico com essas informações:
É muito comum que façamos o gráfico de funções com inequações apenas traçando o eixo x.
Lembrando que a função está pedindo valores maiores ou iguais a zero, não se engane pensando que, como 2 é maior do que zero, a resposta é essa! Lembre que o sinal da função é analisado olhando para o que está cima e o que está abaixo do eixo x. Então, no nosso caso, a função ficará acima do eixo x. Isso significa que ela é positiva para valores de x até 2 e negativa para valores a partir de 2. Veja o gráfico:
Então, o problema solicita valores maiores ou iguais a 0, ou seja, positivos, e, para isso, x deve ser menor ou igual a 2. Você deve lembrar que a notação correta é:
Vamos analisar outro problema; veja o caso em que queremos obter uma função positiva:
Perceba que agora a função solicita valores maiores do que zero e não maiores ou iguais a zero, ok? Para resolvê-la, vamos iniciar encontrando a raiz:
Veja que x deve ser maior do que -4; para que x +4 resulte em um valor maior do que zero. Para representarmos essa informação no gráfico, vamos utilizar uma bolinha sem preenchimento no lugar do -4, que se chama intervalo aberto. Analisando o coeficiente a, vemos que a função é crescente (já que nesse caso a > 0). Podemos construir o gráfico dessa função a partir dessas informações. Veja:
E a análise dos sinais dessa função, feita a partir do gráfico, ficará dessa forma:
Novamente, você precisa prestar muita atenção ao que está sendo dito na função. Para sabermos para quais valores de x a função é positiva, precisamos analisar os sinais. Lembre que o que está acima do eixo x é positivo e o restante é negativo, mas atente para um detalhe: nesse caso temos uma bolinha “aberta” no -4, então a função será negativa para valores menores que -4 e positiva para valores maiores do que -4. A diferença é sutil, mas em nenhum dos casos o -4 foi incluído, ok? Portanto, a solução para o problema que solicita valores positivos (f(x) > 0) é:
