Simpatizantes da série Harry Potter provavelmente reconheceram facilmente o símbolo das relíquias da morte ilustrado abaixo. Quem não sabe do que se trata enxergou apenas um círculo dentro de um triângulo cortado por uma reta bem ao centro.
O que talvez seja algo alheio ao conhecimento de ambos os grupos é que existe um ramo da Matemática especializado em resolver problemas envolvendo relações entre formas geométricas, como polígonos regulares e circunferências. Se assumirmos que no símbolo das relíquias da morte temos um círculo inscrito em um triângulo equilátero de lado √3, como podemos saber qual é o raio do círculo?
Essa pergunta é facilmente respondida se soubermos relacionar as formas geométricas. Vamos estudar com detalhes essas relações a seguir, iniciando pelos polígonos regulares, que já abordamos no capítulo de Geometria Plana I.
► Polígonos regulares: São formas geométricas que possuem lados iguais e ângulos internos e externos iguais. Quando estudamos as áreas das formas geométricas vimos uma dessas formas, mais especificamente, o hexágono, e expandimos esse polígono para outros, com vários lados, até chegarmos em um círculo. Vamos estudar quais são os mais usados e como é possível calcular suas áreas. Veja nas figuras abaixo que os nomes dos polígonos indicam o número de lados da forma geométrica.
► Triângulo equilátero: Já sabemos que o triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos internos e externos iguais e, apesar de não ser comum utilizarmos essa nomenclatura, ele também é um polígono regular. Relembre abaixo a forma e a equação para encontrar a área de triângulos desse tipo:
► Quadrado: É caracterizado por ter quatro lados idênticos, todos formando ângulos de 90o entre si. A forma já é uma velha conhecida sua e a fórmula da área é bem simples, base x altura. Veja abaixo:
► Hexágono: Essa forma geométrica possui 6 lados iguais e ângulos internos e externos idênticos. Perceba que podemos dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros, conforme é feito na figura abaixo. Isso significa que, para calcular a área do hexágono, podemos multiplicar a área do triângulo equilátero por 6, que é o número de triângulos que o compõem, conforme mostra a figura abaixo. Note que a altura do triângulo é chamada de apótema do hexágono e que o lado, que é igual à base (já que temos um triângulo equilátero), é chamado de raio. Perceba que o raio é maior do que o apótema. Veja a equação que fornece a área de um hexágono a partir da área do triângulo equilátero:
Também vimos em Geometria Plana I que podemos encontrar a área de polígonos regulares a partir do perímetro da forma estudada e o apótema:
Lembre que h é o apótema (em alguns livros ele é também chamado de a), P é o perímetro e n é o número de lados do polígono regular.
► Pentágono: Essa forma possui 5 lados iguais (e você já sabe que sempre temos ângulos internos e externos iguais em polígonos regulares). Para calcular a área você utilizará a fórmula anterior, substituindo os valores do perímetro, do apótema e o número de lados.
► Octógono: Esse provavelmente você conhece dos torneios de artes marciais. O local onde a luta acontece tem o formato de um octógono, ou seja, tem 8 lados iguais. Veja um deles abaixo:
