Sua professora de matemática resolveu inovar e criou uma caça ao tesouro para ensinar os conteúdos relacionados à Geometria Analítica. Para isso, ela desenvolveu mapas baseados em áreas de um parque e levou toda a turma para lá. Depois de todos os alunos serem divididos em pequenos grupos, ela entregou um mapa para cada um. O do seu grupo foi o seguinte:
Ao entregar o mapa, a professora indicou para cada grupo qual seria seu ponto de partida, local em que seria encontrada a primeira pista e explicou que cada traço do mapa corresponderia a um passo. Além disso, todas as pistas deveriam ser anotadas no mapa, que em princípio continha apenas anotações essenciais sobre o local.
PISTA 1: Andem 2 passos a norte e 6 a leste para encontrar a próxima pista.
Perceba que os passos indicados pelos traços podem ser entendidos como unidades no plano cartesiano, então, note que os passos dados à leste (ou oeste) são correspondentes a unidades do eixo x, assim como passos dados à norte ou sul são correspondentes a unidades do eixo y. Portanto, para encontrar a próxima pista é necessário encontrar o ponto P(6, 2), que indica 6 unidades no eixo x e 2 no eixo y. Veja a imagem abaixo.
Ao chegar nesse local, vocês encontraram uma pessoa com a seguinte pista:
PISTA 2: Ótimo! Vocês acabaram de relembrar como localizar pontos em um plano cartesiano. Esse conhecimento será muito útil em todas as etapas dessa jornada! Continuem seguindo as instruções!
Para liberar a passagem para a próxima pista vocês precisam responder à seguinte pergunta: Se a próxima pista está 2 passos a norte e 14 passos a leste do ponto inicial, qual é a distância entre o local da 3a pista e o da 2a?
Para responder à essa pergunta é necessário entender conceitos sobre a distância entre dois pontos, consegue perceber? Vamos utilizar novamente os conceitos de localização no plano cartesiano para marcar os locais das pistas no mapa. O primeiro ponto é o que já sabemos, P1(6, 2) e o segundo é o fornecido pela pista, P2 (14, 2). Lembre que essas unidades são contadas a partir da origem (ou ponto inicial). Veja como fica abaixo.
Agora que já se sabe a localização exata de ambos os pontos, é possível saber qual é a distância entre eles. Para isso, basta contar quantos passos (ou unidades) há entre um ponto e outro, ou fazer a subtração entre eles: 14 – 6 = 8 passos (unidades). Então, a distância entre os pontos referidos é 8 passos. Como um dos seus colegas teve dúvidas, ele resolveu contar as unidades no mapa e encontrou o mesmo resultado.
Ao saber disso, você e seu grupo disseram a resposta correta e tiveram a passagem liberada para a próxima pista, que estava, como vocês já haviam calculado, 8 passos a leste do lugar em que vocês estavam.
Chegando no local da terceira pista, vocês encontraram o seguinte gráfico abaixo.
PISTA 3: Parabéns por terem resolvido com êxito o exercício sobre a distância entre dois pontos! Agora vamos nos aprofundar um pouco mais na Geometria Analítica. Notem que vocês percorreram uma linha reta até aqui. Para encontrar a próxima pista é necessário encontrar o ponto médio deste trajeto e andar 7 passos a norte a partir do resultado que vocês encontrarem.
Para resolver o novo enigma, seu grupo mais uma vez recorreu ao plano cartesiano. Vocês traçaram uma linha reta entre os pontos que haviam marcado no mapa anteriormente conforme a figura abaixo.
Saber o ponto médio de um segmento de reta exige que seja feita a média entre os pontos inicial (P1) e final (P2) desse segmento. Veja:
Como sabemos que os pontos são P1 (6, 2) e P2 (14, 2), basta substituirmos os pontos nas equações acima. Vamos estipular que P1 é o ponto inicial e então xi é 6 e yi é 2, portanto, P2 é o ponto final e xf vale 14 e yf vale 2. Veja como fica:
Portanto, o ponto médio do segmento de reta percorrido pelo grupo é PM(10, 2). Veja no plano cartesiano.
Mas, saber o ponto médio do segmento de reta não é o suficiente para encontrar a próxima pista. Lembrem que, ao encontrá-lo, vocês devem caminhar 7 passos a norte a partir dele. Portanto, a próxima pista, no plano cartesiano, será encontrada no ponto P4 (10, 9). Veja abaixo a localização no mapa.
Ao chegar lá, seu grupo encontrou a nova pista.
PISTA 4: Muito bem! Agora vocês devem seguir em linha reta até a borda da piscina. É essencial que o caminho seja perpendicular à borda. Ao chegarem lá vocês receberão novas instruções.
A forma mais segura de saber qual caminho seguir é traçando uma linha reta que faça um ângulo de 90o com a borda no próprio mapa. Ao fazer isso, bastou segui-la para ganhar novas instruções. Veja como fica esse caminho, do ponto P(10,9) até a borda da piscina, no gráfico abaixo.
PISTA 5: Como vocês seguiram à risca o caminho solicitado, chegaram a uma projeção do ponto anterior nesse segmento de reta (borda da piscina). Sabendo os pontos das extremidades da piscina (consulte o mapa), qual foi a distância que vocês percorreram para chegar até aqui?
Agora ficou um pouquinho mais complicado, mas a Geometria Analítica vai te ajudar a resolver esse probleminha. É pedida, basicamente, a distância entre o ponto P(10, 9), que vocês estavam, e a borda da piscina (uma reta), ou seja, a distância entre um ponto e uma reta. Para resolver isso, primeiramente, é necessário saber que a partir de dois pontos de um segmento de reta é possível saber a inclinação dela, chamada de coeficiente angular. Veja a representação da distância percorrida (d) entre o ponto P4 e a borda da piscina e a representação da inclinação (ângulo) da borda da piscina em relação ao eixo x.
Veja como calcular o coeficiente angular da reta:
Sabendo que os pontos fornecidos no mapa são Pa (0, 5) e Pb
(8, 15), podemos substituir os valores na equação acima para saber o valor do coeficiente angular.
Fazendo o arco tangente é possível descobrir o ângulo que essa reta faz com o eixo x. No caso, arctan de 1,25 é 51,25o aproximadamente.
Ótimo, sabendo o valor da inclinação dessa reta e um ponto dela, é possível saber qual é a equação geral dessa reta. Veja:
Lembrando que m é o coeficiente angular da reta e x0 e y0 é um ponto da reta. Como sabemos dois pontos, podemos escolher entre um deles. Vamos ficar com o PA(0, 5). Então, substituindo os valores na equação anterior, teremos:
Note que você e seus colegas percorreram um trajeto em linha reta até a borda da piscina. Então, podemos entender esse trajeto como um segmento de reta (Reta 2) que inicia no ponto em que vocês estavam P4 (10, 9) e segue perpendicularmente à reta que corresponde a borda da piscina (Reta 1).
Então, uma das formas de saber a distância entre o ponto P4 e a reta é, justamente, comparando as equações das duas retas. Para isso, como já sabemos a equação de uma delas, é necessário saber a da outra. Lembre que para encontrarmos a equação da primeira reta, nós antes calculamos o coeficiente angular dela a partir de dois pontos. O grande problema é que agora, nesse novo segmento de reta, sabemos apenas um ponto. Felizmente, nós temos outra forma de encontrá-lo: quando duas retas são perpendiculares, o coeficiente de uma é o inverso negativo da segunda. Veja:
Então, se chamarmos o coeficiente angular da primeira reta m1 , o da segunda será m2, e por isso, substituindo o valor de m1 na equação acima, teremos:
Ótimo! Agora podemos saber qual é a equação da segunda reta a partir do ponto P4 (10, 9):
Note que as duas retas se cruzam em um ponto, justamente aquele que é a projeção do ponto P4 (veja o X preto na imagem abaixo).
Então, para descobri-lo, basta montar um sistema de duas variáveis e encontrar x e y. Acompanhe:
Para facilitar, vamos arredondar para P5 (6, 12).
Mas essa não é a resposta desse enigma! A pergunta era sobre a distância entre o ponto e a reta. Para esse cálculo, nós temos uma equação:
Nesse caso, vamos chamar P4 de Pb e P5 de Pa (como tudo está ao quadrado, a ordem não importa). Substituindo os pontos na equação acima, teremos o seguinte:
Então, a distância entre o ponto P4 e a reta da borda da piscina é de 5 passos!
Antes de continuar, apenas por curiosidade, perceba que, se tivermos uma equação qualquer que descreve um segmento de reta, é possível traçarmos ela sem dificuldades. Para exemplificar isso, vamos analisar a equação 2x + 3y – 12 = 0. Para traçarmos a reta que corresponde a ela é necessário encontrar apenas dois pontos distintos, assim, faremos uma vez x =0 e, outra vez, y = 0. Veja abaixo:
Perceba que um dos pontos toca diretamente o eixo x e outro o eixo y. Vamos marcá-los em um plano cartesiano à parte do mapa:
Agora, basta ligarmos um ponto ao outro, lembrando que essa reta continua além dos pontos.
Voltando à nossa caça ao tesouro…
PISTA 5 – CONTINUAÇÃO: Parabéns por terem conseguido a resposta certa! Deu um trabalhão, mas valeu a pena! Agora sigam pelo caminho indicado pela estradinha de tijolos para encontrar a próxima pista.
Ao seguir a quinta pista, vocês encontraram o seguinte:
PISTA 6: Vocês estão no centro de um quiosque cuja forma é regida pela equação:
Para conseguir a próxima e última pista, diga qual é o ponto central do quiosque e a distância entre este ponto e a borda do quiosque.
A geometria analítica, além de se preocupar em compreender o comportamento de pontos e retas, fornece subsídios para o estudo de circunferências, exatamente o formato do quiosque. Uma equação no formato x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 + R2 = 0 (equação normal) descreve uma circunferência, em que R é o valor de seu raio e os coeficientes a e b correspondem aos valores do centro da circunferência. Portanto, reconhecer uma circunferência é muito importante! Outra forma de representar essa equação é a reduzida, em que é possível identificar os coeficientes e, consequentemente, o ponto central da circunferência mais facilmente. Veja a equação reduzida:
Note que (x – a)2 + (y – b)2 é a distância entre um ponto (x, y), que está na borda da circunferência, e o centro dela (a, b), e, portanto, essa distância será sempre o raio ao quadrado (R2) da circunferência. Veja uma representação disso abaixo:
Agora, perceba que a equação fornecida pela pista é muito semelhante à equação normal da circunferência, certo? Vamos colocá-las em coluna para visualizarmos melhor as semelhanças:
Note que, por comparação, é possível encontrar os coeficientes a e b e, sabendo eles, o raio. Acompanhe:
Comparando os termos que envolvem o coeficiente a e o x, e então o coeficiente b e o y, teremos o cálculo abaixo
Então, já sabemos que o centro da circunferência vale C(16,17). Agora podemos encontrar o raio dela, a partir desses valores. Por isso, vamos comparar os termos que envolvem os coeficientes e o raio, sem acompanhamento de x ou y:
Ótimo! Então, o raio da circunferência, ou a distância entre o centro e a borda do quiosque, vale 9!
PISTA 6 – CONTINUAÇÃO: Parabéns! Vocês conseguiram acertar o último enigma! Deem 8 passos a oeste para encontrar o tesouro!
Por fim, o mapa do seu grupo ficou assim:
Ao chegarem no local do tesouro, vocês encontraram sua professora que pediu o mapa em que vocês fizeram anotações para analisar mais tarde e, juntamente com um chocolatinho cada um, entregou a seguinte mensagem.
TESOURO: Parabéns, queridos alunos! Vocês passaram por uma saga matemática fantástica e o conhecimento que desenvolveram até aqui é o seu maior tesouro! Até a próxima aventura!
Confere aí um resuminho que pode te ajudar a resolver os exercícios de Geometria Analítica:
