Quando uma função é expressa por uma razão de polinômios, temos uma função racional. Formalmente, a função racional é o seguinte:
Em que P(x) e Q(x) são polinômios e Q(x) é diferente de zero.
Para resolver equações racionais, basta que você faça manipulações algébricas, como igualar o numerador ao denominador e passe tudo para o mesmo lado da igualdade, assim, você terá apenas um polinômio, como os que estudamos até agora. A parte mais interessante é quando analisamos graficamente as funções racionais. Elas têm algumas particularidades:
O gráfico de uma função racional não é necessariamente contínuo, como estamos bastante acostumados. Funções desse tipo podem apresentar interrupções em seus gráficos, que são os pontos em que o denominador é zero; assim, a função não existe naquele ponto. Veja um exemplo da função racional abaixo de
que tem como gráfico:
A linha tracejada na vertical é chamada de assíntota vertical. A função racional pode também não estar definida para alguns valores de x. Por causa disso, quando a função chega próxima a esses valores, o gráfico acaba se aproximando da assíntota vertical. Veja o exemplo de
que tem como gráfico:
A função racional pode, também, começar ou terminar muito perto da assíntota horizontal. Veja o exemplo abaixo (analise o exemplo anterior também):
As funções racionais também podem estar associadas a inequações racionais. Para resolver esse tipo de função, basta que você analise o polinômio do denominador separado do polinômio do numerador, como duas inequações separadas. Vamos fazer um exemplo. Observe a inequação abaixo:
Podemos reescrevê-la como uma função racional:
Note que x deve ser diferente de 2, porque, caso seja igual, o denominador será zero e a inequação seria inconsistente.
Vamos analisar P(x) e Q(x) separadamente, como se fossem duas funções separadas, começando por P(x).
Encontrando a raiz dessa função:
Como o coeficiente dominante é maior do que zero, a função é crescente e seu gráfico será:
Vamos fazer o mesmo procedimento com o Q(x):
Encontrando as raízes da função:
Novamente, o coeficiente dominante é maior do que zero, assim, a função será crescente e o gráfico será como o indicado abaixo. Mas, fique atento! Lembre-se que o x deve ser diferente de 2 para que o denominador não zere; assim, é importante indicar isso no gráfico com um intervalo aberto.
Por fim, vamos juntar esses dois gráficos, ou seja, faremos a intersecção entre eles. Acompanhe:
Portanto, o local em que a função é maior ou igual a zero é de menos infinito a -5 (incluindo -5) ou acima de 2. Formalmente, é o seguinte:
