Vamos relembrar a equação exponencial que descreve o nosso problema inicial da multa da biblioteca, 2x = 32. Em um primeiro momento, o nosso objetivo era descobrir há quantos anos você devia, já que a multa chegou a R$ 32,00. Mas, e se quiséssemos saber quanto seria essa multa em 10, em 12, ou em 15 anos? Seria possível calcular o valor da multa se substituíssemos esses valores no x – você consegue notar? Então, teríamos o valor da multa em função do tempo. Portanto, teríamos a famosa função exponencial, já que temos uma função baseada em uma equação exponencial, f(x) = 2x. O conceito é o mesmo de quando trabalhamos com funções de 1o e de 2o graus e elas eram descritas por equações de 1o e de 2o graus, mas agora temos a forma geral como f(x) = ax , sendo a > 0 e a ≠ 1. No caso do problema que estamos abordando, a = 2, portanto é maior do que zero e diferente de 1.
Vamos iniciar nosso estudo arbitrando valores para x (anos) e aplicando-os na função para saber qual é o valor de y (multa). Acompanhe a tabela abaixo:
Perceba que tanto os valores de x quanto os valores de y estão crescendo; isso significa que temos uma função crescente. Veja como ela se comporta em um gráfico traçado a partir dos valores calculados na tabela (analise da esquerda para a direita):
Perceba que o crescimento de uma função exponencial acontece muito mais rapidamente do que aconteceria se tivéssemos uma função linear, concorda? Dê uma olhada no capítulo de Funções I e tire suas próprias conclusões.
Genericamente, podemos escrever uma função exponencial como: f(x) = Ax, em que A nunca é negativo. O comportamento da função vai ser diferente para valores de A maiores ou menores que 1: crescente e decrescente respectivamente.
Vamos analisar uma função que tenha A entre zero e 1. Veja:
Para a construção da tabela, vamos arbitrar alguns poucos valores para x:
Podemos traçar o gráfico dessa função a partir desses valores:
Veja que temos agora uma função decrescente (sempre analise do lado esquerdo para o direito), que está “caindo”. Isso sempre acontecerá quando o coeficiente a estiver entre zero e um.
Note também que, por estarmos trabalhando com uma exponencial, sua função nunca resultará em zero ou em valores negativos para y. Além disso, ela possui função inversa, o que estudaremos em seguida.
Veja o esquema abaixo sobre o comportamento das funções exponenciais de acordo com o coeficiente a, lembrando que ele nunca é negativo:
