Funções de 2º Grau (Introdução e Raízes)
Funções de 2o grau também são conhecidas como funções quadráticas justamente por relacionarem uma variável com outra a partir de uma equação de 2o grau. Por isso, a forma de uma Função de 2o Grau é:
Novamente, esses coeficientes carregam muita informação sobre essa função. Perceba que, como temos uma equação de 2o grau, o termo independente volta a ser o c. Além disso, como a função não é linear, no lugar de termos uma reta caracterizando a relação entre as duas grandezas, teremos uma parábola cuja concavidade é dada pelo coeficiente a. Então, se a > 0, a concavidade será para cima; se a < 0, a concavidade será para baixo. Um macete para lembrar disso é pensar que a parábola sorri quando a é positivo e fica triste quando a é negativo. Dá uma olhada:
Vamos analisar a equação de 2o grau que utilizamos para descobrir o lado da mesa que seu avô havia solicitado que você fizesse variando o x (capítulo de Álgebra II). Então, essa equação será transformada na seguinte função:
Veja que a > 0, então a concavidade da função será para cima e o termo independente é -10, valor em que a parábola encostará (ou cortará) o eixo y. Sabendo disso, vamos arbitrar valores para x e analisar o valor que a função assumirá a partir deles na tabela abaixo.
Agora que temos todos os valores, podemos traçar o gráfico de f(x) em função de x. Veja:
Perceba que a parábola toca o eixo x duas vezes, uma em -2 e outra em 5; essas são as raízes da função. Caso você tenha dúvidas, basta aplicar a Bhaskara e conferir, ok? Mas isso também é visível na tabela que fizemos, já que o resultado é zero quando substituímos esses valores na equação. Faça o teste!
Funções de 2º Grau (Análise Gráfica)
Agora que já estudamos como são as funções de 2o grau, podemos analisar com mais detalhes seus gráficos. É possível calcular o vértice da parábola, por exemplo, e a partir dele saber o ponto máximo ou mínimo que ela atinge. Vamos começar voltando à função que estudamos anteriormente. Veja no gráfico onde fica o vértice da parábola:
Perceba que o vértice é o encontro entre a parte decrescente com a parte crescente da parábola. Em alguns casos você poderá estar procurando o valor máximo ou mínimo que um produto descrito por uma função de 2o grau pode atingir e, por isso é muito útil saber qual será seu ponto máximo ou mínimo. Vamos encontrar o vértice da função que estamos estudando. As equações que facilitam esse cálculo são:
Outra forma de calcular xv é fazendo a média aritmética das raízes (somando as duas raízes e dividindo por 2).
Obteremos um valor para x e outro para y substituindo os coeficientes da função nas equações acima, ou seja, teremos um par ordenado, descrito como:
Lembre que nossos coeficientes são a = 1, b = -3 e c = -10. Vamos aplicar os valores nas equações acima para encontrarmos o vértice da parábola que descreve essa função:
Veja, então, que o par ordenado do vértice dessa função é:
Agora, podemos acrescentar esse ponto à nossa parábola. Lembre que o valor que vem antes corresponde a x e o que vem em seguida, ao y:
Perceba que V(xv , yv ) é o menor valor que a parábola pode atingir, logo este é o ponto mínimo da função. Isso acontece porque a parábola tem concavidade para cima (lembre que a > 0). Se a concavidade fosse para baixo, no vértice teríamos um ponto de máximo, calculado da mesma forma.
Vamos fazer um quadro que relaciona o coeficiente a, o discriminante e os sinais das funções.
Note que a análise do sinal, nesses casos, é feita a partir do eixo x (a parábola é positiva quanto está com uma parte acima do eixo x, caso contrário é negativa). Além disso, perceba que a parábola não toca o eixo x nos dois últimos gráficos. Isso acontece quando não temos raízes reais (ela toca duas vezes se temos duas raízes reais e uma vez quando há apenas uma raiz, repetida 2 vezes). Guarde essa informação para quando estudar Números Complexos, ok?
Perceba que não é sempre necessário construir a tabela arbitrando valores para x para conhecermos o gráfico da função. Se você lembrar de alguns detalhes, como a concavidade a partir do coeficiente a, o valor que a parábola corta o eixo y com o coeficiente c e o número de raízes a partir do valor do discriminante, o trabalho de calcular fica bem menor. Comece devagar, lembrando desses detalhes e tentando esboçar o gráfico, depois faça a tabela e trace os pontos que encontrou e veja que você errou ou acertou. Assim você vai pegando o jeito!