Antes de abordarmos a função módulo, vamos entender o que é o módulo de um número real. Quando falamos que estamos preocupados com o módulo de um número, queremos dizer que estamos interessados no valor absoluto, sem o sinal. O módulo é indicado por duas barrinhas verticais que envolvem algum número. Veja os exemplos:
Note que o módulo de um número positivo é apenas ele mesmo; já o módulo de um número negativo é o seu oposto.
Qual é o valor da equação abaixo |x| = 5? Perceba que x pode ser igual a 5 ou igual a -5, já que o módulo de -5 é 5, certo? Veja abaixo:
Mas, se estivéssemos interessados em saber |x| = 0, teríamos apenas uma resposta, x = 0, já que não temos -0 ou +0, ok?
Qual é a solução de |x| = -10? Nesse caso, não temos solução, já que o módulo é sempre maior ou igual a zero, nunca negativo, como foi apresentado.
Agora que já deixamos claro o que é o módulo de um número e como é uma equação (bem simples) envolvendo o módulo, podemos abordar a função módulo (ou função modular). Ela é caracterizada da seguinte forma: f(x) = |x|. Podemos afirmar, a partir do que acabamos de estudar, que:
Perceba que temos duas sentenças nessa função. Para esboçar o gráfico, precisamos analisá-las separadamente. Vamos iniciar a análise arbitrando valores maiores ou iguais a zero para x:
Arbitramos valores menores do que zero para x:
Traçando o gráfico, teremos o seguinte:
Note que o gráfico não cruza o eixo x, ficando apenas na parte positiva de y.
Vamos analisar como fica a situação das inequações modulares (por exemplo, |3x-12| < 2). Primeiramente, vamos entender algumas propriedades dos módulos de números reais. Veja a reta abaixo em que marcamos os pontos -3, 0 (origem) e 3:
Quando x é maior que -3 e menor que 3, a distância entre um ponto de x até a origem é menor do que 3. Assim, para qualquer um desses x, teremos que -3 < x < 3, que pode ser escrito como |x| < 3, ok? Veja a indicação no gráfico:
Mas, se o x é menor do que -3 e maior do que 3, a distância entre um ponto de x até a origem é maior do que 3. Então, para qualquer um desses x, teremos que x < -3 ou x > 3, que pode ser escrito como |x| > 3. Veja no gráfico:
Assim, podemos concluir que quando temos uma inequação em que k > 0:
Vamos fazer um exemplinho para entender melhor determinando o conjunto solução de |x+7| > 12.
Precisamos utilizar uma das propriedades que acabamos de estudar, em que:
Então, teremos o seguinte:
Expressando cada uma das inequações graficamente e fazendo a união delas, teremos:
Portanto, a solução dessa inequação é:
Foram muitas informações nesse capítulo, né? Revise tudo com carinho e entenda cada detalhe. No final das contas, você vai perceber que tudo está interligado. Bons estudos!