Sabendo as projeções das funções seno e cosseno, como calcular a tangente e localizar ângulos no círculo trigonométrico, estamos prontos para iniciar o estudo das equações trigonométricas. Esse assunto está sendo abordado por último não porque é o mais difícil, mas porque agora temos toda a bagagem necessária para resolver qualquer tipo de equação trigonométrica!
Primeiramente, é importante que você saiba identificar essas equações. Veja o exemplos:
Perceba que a diferença entre as equações está no lugar que a variável ocupa. Na equação a), a variável x se encontra “dentro” do cosseno e é isso que caracteriza uma equação trigonométrica. Já a equação b), é apenas mais uma equação de segundo grau, que envolve o valor do seno de 45o, nada de especial.
Agora que já sabemos que a primeira equação é trigonométrica, vamos ver sua resolução. Equações trigonométricas dessa forma são mais fáceis de resolver a partir da análise do círculo trigonométrico. O primeiro passo é isolar o cosseno com sua variável:
Perceba que 1⁄2 é o valor da projeção, então temos que fazer o caminho contrário ao anterior. Vamos partir da projeção para encontrar os ângulos correspondentes a ela:
Lembre que a luz que provoca essa projeção incide sobre o círculo de cima para baixo, no caso dos quadrantes 1 e 2, ou de baixo para cima, no caso dos quadrantes 3 e 4. Por isso, consultando a tabela da função cosseno, temos, de 0o a 360o, ou de 0 a 2πrad, dois ângulos cujo cosseno é 0,5 (ou 1/2): (60o) e (300o).
Note que o problema não restringiu que os ângulos estivessem entre 0 e 2πrad. Por isso, todos os ângulos semelhantes a 60o e a 300o têm como cosseno o valor de 1⁄2 e isso deve ser dito na resposta. A diferença entre esses ângulos é de:
Então, esses ângulos somados a 2π rad (360o) quantas vezes (k) você puder imaginar, ou seja: + k vezes 2π rad, fornecerá um ângulo cujo cosseno é 1⁄2. Veja como fica o conjunto solução da equação acima:
Perceba que se arbitrarmos k = 1 e, se aplicarmos na solução, obteremos:
Calculando o cosseno de 7π⁄3 obteremos exatamente os 0,5 que esperávamos. O mesmo deve acontecer arbitrando qualquer outro número inteiro positivo para k.