No primeiro problema, tínhamos a equação exponencial 2x = 32 e podíamos resolvê-la através da redução de base, com o objetivo de encontrar o número de anos que você ficou devendo na biblioteca. Seguindo este raciocínio, se soubéssemos quantos anos você ficou devendo (5) e o valor final, mas não qual era o valor inicial da multa,
poderíamos montar a equação x5 = 32, ou:
Perceba que agora temos uma equação logarítmica. Esse tipo de equação pode conter a incógnita na base, no logaritmando ou em ambos; para resolvê-la, é necessário primeiramente analisar as condições de existência, ou seja, a > 0, a ≠1 e b > 0.
Vamos resolver essa equação logarítmica iniciando pela análise das condições de existência. Como a incógnita está na base, vamos analisar, se a > 0 e a ≠ 1. Veja:
Agora vamos resolver a equação:
Lembre que, depois disso, é necessário comparar a resposta com a condição de existência. Nesse caso, x deveria ser maior do que 0 e diferente de 1. Como encontramos x = 2, está tudo ok.
Vamos analisar outra equação logarítmica:
Como, novamente, a incógnita se encontra na base, faremos a análise da condição de existência a partir de a > 0 e a ≠ 1. Então:
Agora vamos fazer o esquema para podermos resolver a equação:
Perceba que temos aqui uma equação de 2o grau, logo, antes de mais nada, vamos analisar seu discriminante. Perceba que os coeficientes dessa função são a = 1, b = -2 e c = -3. Não confunda esses coeficientes com os termos do logaritmo, ok? Seu discriminante será como no cálculo abaixo:
Portanto, sabemos que essa equação de 2o grau possui duas raízes reais e distintas. Vamos aplicar Bhaskara para encontrá-las:
Lembre que vimos que a condição de existência é x ser maior do que 1 e diferente de 2. Isso significa que o conjunto solução para essa equação logarítmica é apenas S = {3}, ok?
Vamos ver agora um exemplo um pouco diferente, com a incógnita no logaritmando:
Primeiramente é necessário analisar as condições de existência. Como agora a incógnita está no logaritmando, temos que ver se b > 0 em ambos os lados da igualdade. Veja que temos uma equação de 2o grau no lado esquerdo e, para avaliarmos a condição dos logaritmandos serem maiores do que zero, é necessário analisar a função, ou seja, encontrar as suas raízes e estudar o sinal da função para diferentes valores de x.
O mesmo procedimento deve ser aplicado à equação de 1o grau do lado direito da igualdade.
No primeiro caso, temos uma função de 2o grau, com a concavidade para cima (a>0) e que as raízes são -3 e 2. No segundo caso, a raiz é -2/3, em uma função de 1o grau crescente. Vamos colocar essas três condições em um gráfico e analisar o que acontece na união entre elas:
Note que, para a condição de existência ser válida para ambas equações, é necessário que x seja maior do que 2. Qualquer outra possibilidade, como x ser menor do que -3, não satisfaz a condição das duas equações, e, por isso, não é verdadeira. Então, sabendo que x deve ser maior do que 2, podemos, finalmente, resolver a equação logarítmica. Para facilitar os cálculos, você precisará lembrar da propriedade abaixo:
Teremos que:
Manipulando essa equação, chegaremos a uma outra equação de 2o grau:
Primeiramente, vamos analisar o discriminante:
Agora sabemos que essa equação possui duas raízes reais e distintas, então vamos encontrá-las a partir da fórmula de Bhaskara:
Veja que uma raiz é 4 e a outra é -2, mas a condição de existência diz que x deve ser maior do que 2. Portanto, a solução dessa equação logarítmica é apenas S = {4}.