Você foi encarregado de construir uma mesa retangular para o seu avô, que, segundo os cálculo dele, deve ter 10 m2. Ele te informou que um lado deve ter 3 metros a menos que o outro. Para saber exatamente o tamanho dos lados dessa mesa, você resolveu equacionar esse problema chamando um lado de x (já que você não sabe o tamanho), o outro de x – 3 (já que esse deve ser 3 metros menor do que o outro) e igualou o produto dos dois lados a 10, que é a área total dessa mesa. Isso porque você sabe que a multiplicação dos lados de um retângulo fornece a área dele. Veja abaixo como ficou.
E então você montou a equação:
Nos problemas que estudamos em Álgebra I, você simplesmente isolava o x e conseguia chegar ao resultado da equação, certo? Vamos tentar aplicar esse raciocínio nessa equação. Lembre de aplicar a distributiva entre os dois primeiros termos. Acompanhe abaixo:
Isolamos o x. E agora, como resolver o restante dessa equação? Veja que o expoente do primeiro x é 2 e que o do segundo x é 1 (que foi omitido). Então, o maior grau dessa equação é 2, o que caracteriza uma Equação de 2o Grau. Vamos utilizar uma fórmula para resolver esse tipo de equação, mas, antes, é importante deixar nossa equação em um formato específico, igualando-a a zero. Para isso, vamos passar o 10 para o outro lado da igualdade. Lembre que, se fizer isso, o sinal deverá ser invertido. Veja:
E podemos, ainda, reescrevê-la dessa forma, sem omitir o número que está multiplicando o primeiro termo:
Esses números são chamados de coeficientes e cada um deles recebe
um “nome”. No caso do multiplicador do x2, o nome é “a”, no caso do
multiplicador do x, é “b”; no caso do termo que não multiplica x, o termo independente, é “c”.
Sabendo isso, vamos “guardar” esse conhecimento e ver como resolver essa equação a partir da Fórmula de Bhaskara e a partir da Soma e Produto.
Fórmula de Bhaskara
A equação utilizada para encontrar os valores de x, que satisfazem a equação de 2o grau a partir dos coeficientes é:
O “mais ou menos” é colocado na frente da raiz, porque devemos analisar o resultado dela de duas formas, já que, por exemplo, o resultado da raiz quadrada de 4 é 2, mas se estivermos analisando x2 = 4 então o x pode ser tanto 2 quanto -2, percebe? Isso porque (-2)(-2) = 4 e (2)(2) = 4 também, assim, nessa análise, precisamos avaliar se o número que foi elevado ao quadrado foi positivo ou negativo. Nada estranho para você até agora, né? O “triângulo” da raiz quadrada é uma letra grega chamada delta, que define o discriminante e é igual a:
O discriminante é muito importante, já que ele diz quantas e como são as raízes da equação investigada. É interessante analisá-lo antes de sair aplicando a fórmula desesperadamente. Veja:
► Se > 0: A equação tem duas raízes reais e distintas.
► Se = 0: A equação tem apenas uma raiz real.
► Se < 0: A equação não possui raízes reais.
Depois dessa análise, vamos substituir o delta na equação anterior e teremos a fórmula de Bhaskara da forma usualmente apresentada:
Agora podemos substituir os valores dos coeficientes no delta, lembrando que, no nosso exemplo, são a = 1, b = -3 e c = -10. Acompanhe:
Como o resultado do discriminante é maior do que zero, já sabemos que essa equação terá duas raízes reais e distintas. Após essa análise, podemos substituir esse valor na fórmula de Bhaskara e encontrá-las:
Tá, mas e a conta terminou aí? Esse é o valor de x? Não! Lembre que temos duas raízes, ou seja, dois valores para x que zeram a equação. Precisamos realizar as operações indicadas pelo sinal “mais ou menos”, mas vamos fazer isso separadamente: quando realizamos a soma no numerador, o resultado é chamado de x’ (lê-se x linha); quando subtraímos, é chamado de x’’ (lê-se x duas linhas). Veja:
Então, 5 e -2 são as raízes da equação x2 – 3x – 10 = 0 e a apresentação da solução é feita como S = {5, -2}. Vamos analisar se essas raízes que encontramos de fato zeram a equação? Basta substituir 5 e -2 no lugar do x, um de cada vez. Veja:
Ótimo, 5 e -2 são raízes, mas como isso resolve o nosso problema original? Lembre que um lado da mesa valia x e o outro x – 3, então, como saber qual é o valor correto se temos duas raízes? Lembre que estamos buscando um valor de comprimento e uma medida desse tipo não pode ser negativa (ou você já viu alguém comprando -1,5 metros de barbante?). Portanto, a raíz -2 da equação não fará parte da nossa resposta. Então, apesar de as raízes da equação serem 5 e -2, a raiz que dá a resposta ao nosso problema é 5. Agora que sabemos disso, podemos substituir esse valor no problema em si, que era: um lado vale 3 metros a menos que o outro. Pela nossa figura, o lado maior vai valer 5 e o lado menor valerá 5 – 3 = 2. Lembrando que a área de um retângulo é calculada multiplicando base e altura (ou lados), então teremos que 5 x 2 = 10 m2. Exatamente o dado fornecido pelo seu avô, certo?
Então, lembre que sempre que quisermos encontrar valores que satisfazem uma equação de 2o grau, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara.