O seu trabalho foi tão maravilhoso ao realizar a tarefa dada pelo seu avô, que sua tia pediu que você fizesse uma mesa para as festas da família. Dessa vez, os pré-requisitos são outros e um pouco menos específicos: um lado deve ser 4 metros menor do que o outro e a área total é 3 vezes o tamanho do maior lado. Novamente, você utilizou seus conhecimentos geométricos e algébricos, fazendo o desenho da mesa com as relações fornecidas. Então, você fez o desenho e o lado maior, que você ainda não sabe o tamanho, foi chamado de x; o lado menor, de x-4; e a área, que equivale à multiplicação desses lados, foi nomeada de 3 x. O esboço ficou assim:
E, depois, montou a equação:
Novamente, você resolveu aplicar a técnica de isolar o x e, para isso, começou a manipular a equação. Ficou assim:
Olha aí, uma outra equação de 2o grau! Mas, você percebe que ela não é igual à anterior, porque não temos o termo independente, certo? Essa é uma equação de 2o grau incompleta, que podemos resolver de duas formas. Uma, como você já sabe, é utilizar a fórmula de Bhaskara, mas a outra talvez seja mais rápida, que é a decomposição. Vamos ver as duas técnicas:
Fórmula de Bhaskara
O primeiro passo aqui é identificar os coeficientes. Como já foi dito, a equação não possui termo independente, então o coeficiente c vale 0. Os outros estão mais fáceis de identificar, a = 1 e b = -7. Sabendo isso, é possível utilizar a fórmula para encontrar as raízes. Acompanhe:
A partir da fórmula de Bhaskara, vimos que as raízes são 7 e 0 ou S = {7, 0}, formalmente. Temos a questão da medida de uma mesa, que não pode ser negativa e nem zero, certo? Antes de analisarmos o problema a fundo, vamos aprender uma outra forma de encontrar as raízes de uma equação incompleta.
Decomposição
A equação que rege o nosso problema é:
E você viu, em produtos notáveis, como decompor uma equação desse tipo. Então, vamos colocar o x em evidência:
Perceba que temos dois termos sendo multiplicados. Podemos tratar esses dois termos como equações à parte e encontrar as raízes separadamente. Isso acontece porque sempre que multiplicamos alguma coisa por zero, teremos zero como resultado. Então, se um esses termos for zero, conseguimos resolver o problema com mais tranquilidade. Veja:
Na primeira equação, é muito evidente qual é a raiz, já que x é igual a zero, certo? Já na segunda, é necessário fazer uma rápida manipulação, passando o -7 para o outro lado da igualdade. Acompanhe:
Então, como a raiz da segunda equação é 7 e a da primeira é 0, encontramos os mesmos valores de quando abordamos o problema a partir da fórmula de Bhaskara.
Agora que vimos as duas formas de resolver esse tipo de equação de 2o grau incompleta, vamos analisar a resposta do nosso problema. Como já foi comentado, a raiz 0 é irrelevante, já que não se pode ter uma medida nula, senão um lado da mesa seria zero e assim não teríamos uma mesa, certo? Portanto, um dos lados da mesa (x) vale 7 e o outro (x – 4) vale 3, já que 7 – 4 = 3, certo? Relembrando que a sua tia disse que a área da mesa valia 3 vezes o maior lado da mesa, então teremos que 3.7 = 21 m2, que é exatamente o valor que vamos encontrar se multiplicarmos o tamanho do lado menor pelo lado maior (3.7 = 21), a área do retângulo.
Outra situação de equação de 2o grau incompleta pode acontecer se tivermos o termo independente, mas não o “companheiro” do x. Veja o exemplo abaixo:
Perceba que agora temos a = 1, b = 0 e c = -4, assim, essa equação de 2o grau é incompleta (já que “falta” um coeficiente) também. No caso específico dessa equação, é possível resolvê-la sem utilizar a fórmula de Bhaskara, apenas isolando o x e “tirando” a raiz. Consegue perceber isso? Veja:
Lembre que tanto o 2 quanto o -2 ao quadrado dão 4 como resultado, por isso, é importante deixar as duas raízes bem claras na resposta, ok?
Também é possível decompor essa equação para encontrar as raízes, exatamente como fizemos anteriormente. Se decompusermos essa equação, chegaremos ao que segue:
Encarando essa decomposição como duas equações que, multiplicadas, resultam em zero, podemos igualar cada uma a zero separadamente para encontrar as raízes delas. Acompanhe:
Que são exatamente as mesmas raízes que encontramos com o outro método!