A divisão de polinômios exige um pouco mais de dedicação e de atenção do que as outras operações que fizemos. Aprenderemos duas formas de fazê-la: uma que é chamada de método da chave (também conhecida como teorema do resto) e outra que é chamada de dispositivo de Briot- Ruffini. Este último é muito útil não só na divisão de polinômios, mas para possibilitar o cálculo de raízes de polinômios de ordens maiores do que 2.
Método da Chave
Quando você estava nas séries iniciais da escola, aprendendo as operações básicas, aprendeu a realizar a divisão de números reais utilizando o método da chave e talvez a utilize até hoje. Nós chegamos a relembrar esse procedimento no capítulo de Aritmética I, porque ele pode ser rapidamente utilizado em provas ou situações em que você não pode dispor de uma calculadora. O método da chave para polinômios é muito parecido com o que já conhecemos. Na verdade, a nomenclatura é igual: o polinômio a ser dividido é o dividendo; o que está dividindo é o divisor; o quociente é o valor dessa divisão e o que sobra é o resto. Vamos relembrar isso no próprio diagrama:
Em que h(x) deve ser diferente de zero e o grau de r(x) deve ser menor do que o grau de p(x) ou igual a zero. Veja que p(x) pode ser reescrito como
Vamos fazer um exemplo utilizando esse método. Vamos dividir o polinômio p(x) pelo polinômio h(x):
Vamos montar a divisão utilizando a chave e escrevendo todos os termos dos polinômios (alguns estão ocultos porque valem zero). É essencial que eles estejam em ordem decrescente para evitar possíveis confusões.
Vamos dividir o primeiro termo de p(x) pelo primeiro termo de h(x):
Esse é o primeiro termo do quociente q(x). Vamos escrevê-lo em seu lugar:
Vamos multiplicar o quociente q(x) pelo polinômio do divisor h(x) e vamos escrever esse resultado com o sinal trocado embaixo do dividendo p(x):
Fazendo a subtração, chegaremos a:
Veja que o grau do polinômio do resto r(x) ainda é maior do que o grau do polinômio do divisor h(x), portanto, a divisão deve continuar. Vamos repetir os procedimentos anteriores até que o grau de r(x) seja menor do que o de h(x) ou zero. Dividindo o primeiro termo de cada polinômio, teremos o seguinte:
Colocando esse valor no quociente e realizando a multiplicação pelo divisor, teremos:
Que resulta em:
Novamente, o grau de r(x) é maior do que o de h(x), então, continuando a conta, vamos fazer a divisão entre o primeiro termo de cada um deles:
Colocando esse valor no quociente, multiplicando por h(x) e escrevendo esse resultado no r(x), obteremos:
Como o grau de r(x) continua maior que o de h(x), continuamos o procedimento. Acompanhe a divisão dos primeiros termos:
Aplicando na equação como fizemos anteriormente:
Finalmente, o grau de r(x) é menor do que o de h(x), portanto, a nossa divisão terminou e temos como resultado o seguinte:
Perceba que o método da chave não é difícil, ele é apenas trabalhoso. Basta que você preste muita atenção no que está fazendo e treine algumas vezes para lembrar cada um dos passos quando for necessário, ok?
Antes de passarmos para o próximo procedimento, vamos dar uma olhada num caso particular do método da chave.
Um caso particular do método da chave consiste na divisão de um polinômio por outro do tipo x – a. Ou seja, se quiséssemos dividir o polinômio
pelo polinômio h(X) = x – 3. Acompanhe:
Dividindo o primeiro termo do p(x) pelo primeiro termo do h(x):
Substituindo na equação de divisão:
Como o resto tem grau maior que o divisor, vamos continuar a divisão fazendo:
Substituindo e resolvendo, chegaremos a:
Note que obtivemos como resto o número -5. Vamos guardar essa informação e analisar outro caso. A raiz do divisor dessa divisão é 3, consegue perceber? Isso porque basta isolarmos o x para sabermos a raiz de uma equação de primeiro grau. Portanto:
Vamos encontrar o valor numérico do polinômio p(x) para x = 3:
Veja que o resto obtido na divisão por x – 3 é igual ao valor numérico do polinômio p(x) quando substituímos x por 3, que é a raiz do divisor. Podemos escrever isso da seguinte forma: r = p(3).
Generalizando, podemos dizer que o resto r da divisão de um polinômio p(x) por um binômio do tipo x – a, com a pertencendo aos Complexos, é igual a p(a), ou seja, r = p(a).
A partir disso, caímos no chamado Teorema de D’Alembert, que é uma consequência do Método da Chave, que diz que um polinômio p(x) só é divisível por x – a se a é raiz de p(x), ou seja, p(a) = 0.