Já conhecemos a nomenclatura e as operações realizadas com conjuntos, mas, para podermos resolver os problemas propostos, precisaremos utilizar um recurso chamado diagrama de Venn para iniciar a resolução dos nossos problemas. Lembre que as questões eram: quantos alunos foram consultados ao todo? Quantos estudantes estavam interessados apenas em Medicina e apenas em Química?
Lembre também que, a partir das informações sobre os cursos, nós criamos três grupos, então, vamos analisar um por vez. Sobre a primeira questão, nós sabemos quantos alunos foram entrevistados no primeiro e no terceiro grupo, mas não sabemos quantos temos no segundo. Já a segunda questão pergunta sobre informações do primeiro e do terceiro grupo, que estão faltando. Vamos iniciar nossa análise utilizando o segundo grupo para responder quantos estudantes foram perguntados.
Grupo 2
Alunos interessados em Biologia, Física e Psicologia.
Sabemos que 21 estudantes gostariam de cursar Biologia, 15 Física, 25 Psicologia e que, além disso, 8 estavam em dúvida entre Biologia e Física, 10 entre Biologia e Psicologia, 5 entre Física e Psicologia e 3 ainda não haviam decidido se cursariam Biologia, Física ou Psicologia.
Temos três cursos, então, para montarmos um diagrama de Venn, faremos 3 círculos e os nomearemos com os títulos dos cursos. Segundo o enunciado, há estudantes que estão em dúvida entre dois ou três cursos. Quando estamos tratando de conjuntos, isso descreve uma intersecção, que, no diagrama, é representada por uma sobreposição dos círculos. Veja como fica:
O próximo passo é preencher os espaços dos círculos com os números de estudantes que escolheram tais cursos. Atenção: sempre iniciaremos o preenchimento a partir das interseções e você logo entenderá o porquê. Sabemos que 3 alunos estavam em dúvida entre os cursos de Psicologia, Física e Biologia, então, vamos escrever o número 3 no “centro” dos círculos, ou seja, na intersecção entre os três círculos.
Também há estudantes em dúvida entre dois cursos: 8 estavam em dúvida entre Biologia e Física, 10 entre Biologia e Psicologia e 5 entre Física e Psicologia. No nosso diagrama, basta preencher as intersecções entre os dois círculos correspondentes ao número deles, subtraindo o valor da intersecção entre os três cursos. Assim, os interessados em Biologia e Física são 8 – 3 = 5; em Biologia e Psicologia 10 – 3 = 7; e em Física e Psicologia 5 – 3 = 2 Veja:
Agora, só falta preencher os espaços que não fazem intersecção, mas é preciso muita atenção. Não basta preenchê-los com os números do enunciado em que 21 estudantes gostariam de cursar Biologia, 15 Física e 25 Psicologia. É preciso descontar o que já foi escrito no diagrama, pois, entre esses estudantes que escolheram esses cursos, há os que estão indecisos. Então, vamos olhar um círculo do nosso diagrama por vez. No caso de Biologia, 5 + 3 + 7 = 15 estudantes já estão sendo contados, por isso devemos fazer 21 – 15 = 6 e, portanto, teremos que apenas 6 estudantes estão interessados somente em Biologia. Agora, faremos o mesmo com os outros círculos: em Física, já temos 5 + 3 + 2 = 10, e o enunciado nos informa que temos 15 alunos interessados em Física, então, 15 – 10 = 5, assim, apenas 5 deles estão interessados apenas em Física. Já na Psicologia, temos 7 + 3 + 2 = 12 estudantes interessados no curso, mas apenas 25 – 12 = 13 interessados exclusivamente nesse curso. Agora, vamos preencher nosso diagrama com essas informações:
Por fim, para sabermos quantos alunos foram entrevistados nesse grupo, vamos somar todos os números do diagrama. Assim, teremos:
Perceba que, se tivéssemos apenas somado os números que o enunciado forneceu, teríamos muitos estudantes a mais, pois estaríamos contando alguns duas ou três vezes. Fazer o diagrama deixa bem mais fácil perceber esses detalhes e mais difícil de errar.
Então, se são 41 alunos nesse grupo, 40 no primeiro e 15 no último, o número de alunos entrevistados foi 41 + 40 + 15 = 96 alunos.
Beleza! Nosso primeiro problema foi resolvido, agora vamos aos outros, iniciando pelo primeiro grupo, que envolve apenas dois elementos e de um deles não sabemos o número de interessados.
Grupo 1
Composto por 40 estudantes, 15 estavam interessados em Psicologia, 10 estavam em dúvida entre Psicologia e Medicina e o restante optou por Medicina. Quantos são os estudantes que querem exclusivamente cursar Medicina? Vamos montar o Diagrama de Venn para descobrir!
Como temos dois cursos, dessa vez teremos apenas dois círculos. Veja que há estudantes que estão em dúvida e indicaram os dois cursos, por isso teremos uma intersecção entre eles. Lembre que sempre iniciamos o preenchimento do diagrama a partir das informações da intersecção, ok? Então, vamos montar o diagrama e preencher a intersecção com o número 10, que é o número de estudantes em dúvida:
Sabemos que o número de estudantes que expressou interesse por Psicologia é 15, mas lembre que, ao preenchermos o diagrama, precisamos descontar o valor contido na intersecção. Portanto, no lugar de apenas Psicologia, teremos 15 – 10 = 5 estudantes:
O nosso problema está perguntando o número de estudantes com interesse exclusivo em Medicina, então, como não sabemos que número é esse vamos substituí-lo por um x.
Lembre que, antes, o procedimento foi somar todos os valores contidos no diagrama para podermos saber o número de estudantes daquele grupo. Agora, faremos algo muito parecido, só que somaremos os números e a incógnita (o “x”) e igualaremos ao número de estudantes deste grupo, que, como mencionado anteriormente, é 40. Então, teremos o seguinte:
Para podermos saber o valor de x e, assim, o número de estudantes que escolheu cursar Medicina, é necessário isolá-lo. Ficará assim:
Portanto, 25 estudantes optaram exclusivamente pelo curso de Medicina. Se você preencher esse número no diagrama, chegará na seguinte imagem abaixo.
E, por fim:
Logo, o procedimento realizado é verdadeiro! Agora, falta apenas um problema a ser resolvido, o que envolve os estudantes do terceiro grupo. O procedimento será o mesmo que realizamos no problema anterior, mas é necessário mais atenção, já que teremos um elemento a mais envolvido.
Grupo 3
Grupo composto por 15 alunos, 7 estudantes se interessaram por Matemática, 4 por Filosofia, 1 por Química e Filosofia, 2 por Matemática e Filosofia e 4 por Matemática e Química. O restante gostaria de cursar Química e nenhum estava interessado nos três cursos. Quantos estudantes estavam interessados exclusivamente Química?
Como temos três cursos, teremos três círculos no Diagrama de Venn. Perceba que, na intersecção entre os três, há um conjunto vazio, já que nenhum aluno ficou em dúvida entre os três cursos. Então, construindo o diagrama e preenchendo a intersecção entre os três, teremos:
O segundo “nível” de intersecções é aquele que ocorreu apenas entre dois cursos. Então, vamos preencher o número 4 entre Matemática e Química, o número 2 entre Matemática e Filosofia, o número 1 entre Química e Filosofia.
Por fim, vamos preencher os espaços que restam, mas lembre que devemos levar em consideração o que já foi preenchido. Então, no círculo do curso de Matemática há 2 + 4 = 6 alunos. O enunciado diz que eram 7 alunos interessados. Por isso, faremos 7 – 6 = 1, e esse é o número que será preenchido, já que apenas um estudante estava interessado exclusivamente em Matemática. O mesmo será feito com o curso de Filosofia, em que já há 2 + 1 = 3 alunos. Como eram 4 interessados, teremos que 4 – 3 = 1, assim, somente um estudante queria cursar apenas Filosofia. No caso do curso de Química nós colocaremos um x no espaço em branco.
Para sabermos o número de estudantes que optou por esse curso, devemos somar todos os números do diagrama e igualar ao número de estudantes entrevistados nesse grupo, que nós sabemos ser 15:
Resolvendo, teremos:
Então, 6 estudantes estavam interessados em cursar exclusivamente Química.