Outra análise interessante a ser feita, além do perímetro e da área de figuras planas, é o número de diagonais dos polígonos. Uma diagonal é traçada de um vértice a outro, desde que eles não sejam consecutivos, ou seja, que um vértice não esteja ao lado do outro (isso porque se você traçar uma reta entre dois vértices consecutivos será um lado da figura, certo?). Vamos analisar, a partir dos polígonos abaixo, o número de diagonais que saem de um dos seus vértices. Acompanhe:
Quadrado
O número de lados e de vértices de um quadrado é 4, e apenas uma diagonal é formada a partir de um vértice. Portanto, cada um dos vértices forma uma diagonal, mas perceba que, por exemplo, a diagonal formada por AC é a mesma diagonal CA, assim como a diagonal formada por BD é a mesma formada por DB. Por isso, para saber o número de diagonais não basta multiplicar o número de vértices pelo número de diagonais que cada vértice forma, é necessário eliminar essas duplicidades, dividindo por 2. Em breve teremos uma fórmula bem simples para isso.
Pentágono
O pentágono tem 5 vértices e o número de diagonais que saem de um de seus vértices é 2.
Hexágono
O hexágono tem 6 lados e por isso 6 vértices, mas o número de diagonais de saem de um deles é 3.
Perceba que o número de diagonais que parte de um vértice é sempre 3 unidades abaixo do número de vértices. Esse é o motivo pelo qual o triângulo não possui diagonais. O triângulo tem três vértices e todos eles são consecutivos entre si, portanto, é impossível traçar uma diagonal. Utilizando o que aprendemos de que o número de diagonais que sai de um vértice é o número de vértices menos 3, teremos zero, e, então, nenhuma diagonal é traçada a partir de um de seus vértices.
Depois de toda essa análise conseguiremos deduzir facilmente a fórmula para o número de diagonais de uma figura plana. Vamos chamar o número de vértices de n. Sabendo que o número de diagonais que saem de um vértice é 3 unidades abaixo do número total de vértices, podemos escrever n – 3, então basta multiplicar o número de vértices pelo número de diagonais de cada um deles, dividindo por dois (lembre de eliminar a duplicidade). Portanto, teremos a equação abaixo:
E, assim, é possível calcular o número de diagonais de qualquer polígono sabendo apenas o número de lados (e, consequentemente, de vértices).