Toda matriz quadrada pode ser associada a um número, que chamamos de determinante. Quando a matriz é de ordem 1, ou seja, tem apenas uma linha e uma coluna e, consequentemente, apenas um elemento, o determinante é o próprio elemento. Quando temos ordens 2 e 3, utilizamos outro artifício para identificar o determinante das matrizes: diferença entre a multiplicação dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária. Vamos ver exemplos:
► Matriz quadrada de ordem 1: o determinante é o próprio elemento da matriz.
► Matriz quadrada de ordem 2: o determinante é calculado a partir da multiplicação dos elementos da diagonal principal menos a multiplicação dos elementos da diagonal secundária. Veja:
Vamos entender melhor a partir de um exemplo. Veja a matriz de ordem 2 abaixo:
Trace as diagonais para que você não confunda as linhas e as colunas. Pode parecer irrelevante agora, mas, em matrizes maiores, esse procedimento é essencial.
Agora, aplique a equação dos determinantes que vimos anteriormente. Note que não é necessário gravar mais uma equação, se você entender que precisa fazer a diferença entre as diagonais, ok? Veja como fica o cálculo:
Então, o valor associado a essa matriz é 3, ou seja, o determinante dessa matriz é 3!
► Matriz quadrada de ordem 3: para calcular o determinante dessas matrizes, precisaremos aprender um artifício matemático chamado de Regra de Sarrus. Vamos entendê-la a partir de um exemplo. Veja a matriz genérica abaixo:
Agora, vamos repetir as duas primeiras colunas dessa matriz à direita dela (faremos uma linha pontilhada para delimitar a matriz original). Veja:
Em seguida, traçaremos três diagonais à direita (envolvendo os elementos a11, a12 e a13) e três à esquerda (envolvendo os elementos a13, a11 e a12). Acompanhe:
O próximo passo é calcular o determinante. É necessário multiplicar os elementos de cada diagonal e depois somar esses valores. Mas tome cuidado, não vá somar as diagonais à direita com as à esquerda! Lembra de quando calculamos o determinante de uma matriz quadrada, que fizemos a diferença entre as diagonais principal e secundária? Aqui é a mesma coisa! Vamos calcular os elementos das diagonais traçadas à direita (tracejadas em vermelho ao lado) e deles subtrair os elementos das diagonais à esquerda (tracejadas em preto acima). Como é muita informação, é interessante utilizar parênteses/colchetes/chaves para ajudar a não se perder em sinais, ok? A formulinha para esse cálculo é essa:
Tá, mas precisa decorar essa fórmula gigantesca? Claro que não! Basta que você trace as diagonais e lembre de multiplicar os elementos e somar as diagonais. Vamos fazer um exemplo para entender melhor tudo isso. Veja a matriz de ordem 3 abaixo:
Agora vamos repetir as duas primeiras colunas ao final da matriz:
Traçando as diagonais à direita e à esquerda, chegaremos a:
Feito tudo isso, podemos iniciar os cálculos. Lembre que é a soma das diagonais à direita menos a soma das diagonais à esquerda. Não esqueça que os elementos de cada diagonal são multiplicados. Veja o que teremos:
Então, o determinante de Q é 8. Perceba que o cálculo dos determinantes é bem simples, mas é necessário ter muita atenção para não confundir os elementos das diagonais e, principalmente, os sinais.
► Matriz quadrada de ordem maior que 3: para calcular esse tipo de determinante, é necessário utilizar um artifício matemático chamado de Teorema de Laplace. Para isso, precisamos seguir alguns passos:
- Escolha uma linha ou coluna da matriz que você está estudando;
- Multiplique cada elemento da linha (ou coluna) pelo seu respectivo cofator;
- Pelo Teorema de Laplace, o determinante da matriz será a soma dos produtos os elementos da linha (ou coluna) pelos cofatores.
Tá, tudo isso parece bem estranho, né? A melhor forma de entender é fazendo um exemplo utilizando ordens menores, porque ele funciona para todos os casos de matrizes quadradas. Vamos utilizar um exemplo de uma matriz de ordem 3.
Agora, vamos escolher, arbitrariamente, uma linha ou coluna. Nesse caso, optei pela segunda linha da matriz.
Em seguida, precisamos multiplicar cada elemento da linha que escolhemos pelo seu cofator. Mas o que é isso? O cofator é calculado a partir da equação abaixo:
Parece difícil, né? Mas não é. É só trabalhoso e exige muita atenção. Vamos fazer esse cálculo para cada um dos elementos da linha que escolhemos, iniciando pelo elemento a21, que é o número 2.
► Cofator do elemento a21:
D21 é o determinante da matriz excluindo a coluna e a linha que contém a21. Fica assim:
Calculando o determinante dessa matriz, chegaremos a 3. Substituindo todos os valores na equação acima, teremos o seguinte:
Esse é o valor do cofator do elemento a21. Multiplicando esse elemento pelo seu cofator, teremos: 2.(-3) = -6
Vamos guardar essa informação e calcular o cofator do segundo elemento da linha que escolhemos.
► Cofator do elemento a22:
D22 é o determinante da matriz excluindo a coluna e a linha que contém a22. Fica assim:
Calculando o determinante dessa matriz, chegaremos a 3. Substituindo todos os valores na equação, conforme fizemos anteriormente, teremos:
Então, 3 é cofator do elemento a22. Multiplicando esse elemento pelo seu cofator, teremos: 1.3 = 3. Por fim, vamos realizar o mesmo procedimento para o terceiro elemento da linha escolhida.
► Cofator do elemento a23:
D23 é o determinante da matriz excluindo a coluna e a linha que contém a23. Fica assim:
Calculando o determinante dessa matriz, chegaremos a 1. Substituindo todos os valores na equação, teremos:
Portanto, -1 é o cofator do elemento a23. Multiplicando esse elemento pelo seu cofator, teremos: 1.(-1) = -1.
Certo, mas o teorema diz que o determinante da matriz original é o somatório das multiplicações dos elementos pelos cofatores. Assim, o valor do determinante da matriz será:
Bem trabalhoso encontrar esse determinante, né? Por isso, caso você
queira encontrar determinantes de ordem 3, é melhor utilizar o método
anterior, né? Deixe o que acabamos de ver para quando for realmente
necessário, como em matrizes de ordem 4 ou maiores, porque é bem fácil
se perder nos sinais.