Veja abaixo as demonstrações das propriedades que vimos nesse capítulo de Funções. Para as duas primeiras, precisamos lembrar de uma consequência da definição:
Logaritmo do Produto
Lembre que ax . ay = a(x+y).
A partir disso, acompanhe o logaritmo do produto:
Lembrando da consequência da definição, somamos os expoentes para ter a resposta: 2 + 3 = 5.
Agora, veja a soma de logaritmos:
A partir da consequência da definição, teremos que 2 + 3 = 5.
Portanto, perceba que log2 (4.8) = log2 4 + log2 8. Assim, podemos generalizar para:
Logaritmo do Quociente
Lembre que
A partir disso, acompanhe o logaritmo do quociente:
Lembrando da consequência da definição, devemos resolver o expoente 4 – 2 = 2.
Agora veja a subtração de logaritmos:
A partir da consequência da definição, teremos que 4 – 2 = 2.
Portanto, veja que
Assim, generalizamos para:
► Caso particular:
Lembrando de outra consequência da definição: loga 1 = 0, então:
Logaritmo de Potência
Veja o logaritmo de potência a seguir:
A regra geral é: o expoente “sai” do logaritmo e passa para a frente multiplicando. Te liga!
Mudança de Base
A mudança de base é feita aplicando a seguinte fórmula:
Vamos considerar que:
Resolvendo esses logaritmos, chegaremos em ap = b, cq = b e cr =a. Veja que b = cq = ap. Como a = cr, se elevarmos ambos lados a p, chegaremos a ap = (cr)p = crp. Então, se cq = crp, então q = rp, ou p = q/r, que é o mesmo que:
