Em primeiro lugar, é importante que você tenha claro que toda equação polinomial com grau 1, ou maior que 1, tem pelo menos uma raiz complexa. Esse preceito é chamado de Teorema Fundamental da Álgebra (você não precisa guardar esse nome, apenas a informação). Atrelado a esse teorema, temos outro, chamado de Teorema da Decomposição, que diz que todo polinômio de grau 1, ou maior que 1, pode ser decomposto utilizando suas raízes. Veja a forma geral dessa decomposição:
Perceba que apenas o coeficiente dominante é utilizado na decomposição, juntamente com as raízes. Para deixar tudo mais claro, vamos ver um exemplo da forma decomposta do polinômio p(x) que tem como raízes -2, 3, 7:
Então, quando você se deparar com a forma decomposta de um polinômio, já sabe que é muito mais fácil de identificar suas raízes, né?
Continuando nesse raciocínio… Quando você resolvia equações de segundo grau e o discriminante resultava em zero, você já sabia que a equação possuía duas raízes reais iguais, né? Mudando um pouquinho as palavras, podemos dizer que a multiplicidade da raiz é 2. Ou seja, a multiplicidade de uma raiz indica quantas vezes aquela raiz se repete. Assim, no caso do nosso exemplo, como temos as raízes -2, 3, 7, todas elas têm multiplicidade 1, que indica que não são repetidas, ou seja, são raízes simples. Saber a multiplicidade das raízes é muito importante na hora de traçar um gráfico. Veja outro exemplo de como podemos “descobrir” a multiplicidade de uma raiz:
Pela decomposição, vemos que esse polinômio tem duas raízes iguais, que chamamos de raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla. Podemos agrupá-las colocando o expoente 2 no termo correspondente. Vamos analisar mais um exemplo:
Uma das raízes tem multiplicidade 3 e a outra tem multiplicidade simples, ou seja, não se repete. Note que, como o polinômio tem grau 4, ele tem 4 raízes, apesar de uma delas se repetir 3 vezes.
Ainda nessa vibe de raízes e coeficientes, vamos abordar um tema que você já conhece para as equações de segundo grau: Soma e Produto. Agora chamaremos de Relações de Girard e ampliaremos a ideia essas
relações para polinômios de graus maiores.