Você provavelmente consegue notar as semelhanças do formato entre chapeuzinho de festa infantil, cone de trânsito e casquinha de sorvete, certo?
Os três objetos tem alguma semelhança com as pirâmides, com a diferença de que a base não é um polígono regular, mas uma circunferência, que faz com que não haja “dobradura” na lateral do sólido, denominado cone.
Assim como o cilindro, o cone também é chamado de sólido de revolução, isso porque, se girarmos 360o um triângulo retângulo, chegaremos a um cone. Veja a ilustração:
Veja que, se “cortarmos” o cone na vertical, bem ao centro, teremos que a parte interior descreve um triângulo, que tem a altura do cone e a base que equivale ao diâmetro da circunferência que compõe a base do cone original. Veja a imagem:
Vamos guardar essas informações e iniciar o estudo da área do cone, mas antes, sempre buscando facilidades de compreensão, vamos planificar o sólido. Se você já montou os chapeuzinhos de festa infantil provavelmente não terá dificuldade alguma nessa etapa. A base do cone sabemos facilmente que é uma circunferência, já que giramos o triângulo 360o para formar o sólido, e a lateral será algo que em Trigonometria chamamos de arco de circunferência. Acompanhe abaixo:
Veja que g é a lateral do arco (chamada de geratriz), que veremos ser uma espécie de raio de uma grande circunferência da qual saiu esse arco.
Perceba que o cálculo da área do cone não é trivial, apesar de sabermos a área da circunferência, não discutimos como calcular a área de uma forma geométrica como a da lateral do cone. Por isso, é necessário abordar, primeiramente, a área do setor circular.
Área do Setor Circular
Já relembramos o que é um arco de circunferência (um pequeno pedaço de uma circunferência), certo? Pois a área do setor circular é a área definida por esse arco. Veja a figura abaixo para entender melhor.
O arco é o que está em vermelho e a área definida por esse arco (que chamada de área do setor circular) é a parte sombreada.
Sabendo que a área da circunferência é π.r2 e que ela equivale a 360o, faremos a seguinte regra de três para encontrar a área do setor:
Sabendo disso, vamos transpor esse conhecimento ao nosso problema. Podemos completar o arco que tínhamos como lateral do cone com uma circunferência, certo? Veja a imagem:
E, assim, fazer a regra de três, utilizando o g como o raio dessa circunferência:
Então, a área da lateral do cone é dada por:
Sabendo que a área da base é a área da circunferência, teremos que a área total do cone é:
Quanto ao volume do cone, devemos retomar o princípio de Cavalieri. Lembre que esse princípio diz basicamente que desde que as alturas de dois sólidos sejam iguais e as bases deles sejam congruentes, podemos calcular um volume desconhecido a partir de um volume conhecido. Vamos tomar o volume da pirâmide como conhecido e o do cone como desconhecido. Então, o cálculo do volume de um cone é feito como o de uma pirâmide: a partir de um terço do volume do prisma. Veja:
Tronco de Cone
Se cortarmos o cone na horizontal, assim como na pirâmide, teremos um pequeno cone e um tronco de cone. Veja a figura:
Perceba que temos duas bases circulares, porém de raios diferentes. Ao planificarmos esse sólido teremos o seguinte:
A área das bases você já sabe calcular, basta fazê-lo separadamente, já que terá uma circunferência de raio r e outra de raio r’.
Já o cálculo da área lateral é realizado a partir da diferença entre as áreas do cone original e do pequeno, depois de cortado. Veja que chamamos a geratriz do tronco de G e portanto g – G fornece a geratriz do cone menor. Acompanhe o desenvolvimento da fórmula da área lateral:
Então, a área total do tronco do cone é:
O volume do tronco do cone é encontrado da mesma forma, fazendo a diferença entre o cone original e o menor. Assim, teremos:
Sabemos que H – hT = h, então podemos reorganizar a equação acima e obteremos:
