Sua universidade oferece bolsa de estudos de 100% da mensalidade para o primeiro colocado no processo seletivo e 50% para o segundo colocado. Você ficou sabendo que os cinco primeiros colocados foram cinco colegas seus: Angela, Bianca, César, Diana e Eduardo, que também estudaram no Me Salva!, e ficou curioso para saber quantos são os cenários possíveis para os dois primeiros lugares. Para realizar esse cálculo, você montou o diagrama abaixo chamando seus colegas pelas iniciais de seus nomes: A, B, C, D e E.
Pelo PFC, conseguimos facilmente calcular (mesmo sem o diagrama) quantos são os cenários possíveis para a contemplação das bolsas. Aqui é muito importante notar que o cenário AB é diferente do cenário BA, já que o primeiro indica que A ganhou bolsa integral e B bolsa parcial, e o segundo que B ganhou bolsa integral e A parcial. Assim como BC é diferente de CB, ou CD é diferente de DC, portanto, a ordem nesse caso importa. Assim, o cálculo de possibilidades de agrupamentos em que estamos preocupados com a ordem dos elementos é chamado de arranjo simples.
Formalmente, dizemos que arranjo simples são os agrupamentos ordenados de n elementos tomados p a p (considerando p sempre menos do que n). Então, no caso que estudamos, o número de elementos n é o número de alunos, 5, tomados p a p, ou ainda, tomados 2 a 2. Assim, o arranjo é indicado por An,p ou Apn e, no caso do nosso problema, temos A5,2 ou A52 .
Note que, para a primeira posição (o primeiro lugar), temos n opções (5 opções); para a segunda posição, temos n -1 opções; para a terceira posição teríamos n – 2 opções e, para a p-ésima posição, teríamos n – (p – 1) opções. Veja a tabela abaixo para entender melhor como é formada a equação do Arranjo Simples:
Como o PFC propõe que essas possibilidades sejam multiplicadas para sabermos o número total de arranjos, teremos:
Veja que os fatores estão diminuindo um a um, então podemos reescrevê-los em forma de fatorial. Veja o caso do nosso exemplo: temos 5 elementos tomados 2 a 2, então, pelo PFC, temos que o arranjo é A5,2.
Podemos multiplicar 3!/3! (que resulta em 1), obtendo:
Abrindo o fatorial do denominador e transformando em outro fatorial, teremos o seguinte:
Outra forma de escrever esse resultado é:
Note que podemos generalizar a equação acima na forma:
Então, sabendo o número de elementos n e o agrupamento de p a p, é possível calcular o arranjo sem necessidade de construir um diagrama.