Agora que já estamos bem armados no quesito relações entre seno, cosseno e tangente para encontrar ângulos de triângulos, vamos expandir nosso conhecimento. Para isso, vamos analisar várias situações, agora trabalhando com ângulos formados por “pedaços” de círculos, que chamaremos de arcos. Imagine que estamos olhando, de cima, um bolo que acaba de ser cortado:
Perceba que o pedaço que já foi cortado forma uma figura parecida com um triângulo, mas com um dos lados arredondado, que é chamado de arco. Além disso, note que o tamanho do pedaço é caracterizado por um ângulo formado entre os dois lados do arco, cujas extremidades chamaremos de A e de B. Veja a figura abaixo:
Nós já sabemos que 360º representa uma circunferência, certo? Isso significa, portanto, que cada grau vale 1/360 do comprimento da circunferência. Ou seja, com algum cuidado e paciência, poderíamos dividir o bolo em 360 pedaços iguais e cada um deles teria um ângulo de 1º. O que você talvez ainda não saiba é que podemos dividir os graus, assim como dividimos horas. Parece estranho? No início até pode ser, mas é só mais uma das centenas de unidades de medida que você terá que enfrentar na vida. Então, 1º (um grau) pode ser dividido em 60 partes iguais, denominadas minutos (representadas por aspas simples ‘), e cada um desses minutos pode ser dividido em outras 60 partes iguais, denominadas segundos (representadas por aspas duplas “). Veja o esquema:
Outra unidade de medida de ângulos são os radianos (expressos por rad). Quando estamos tratando de ângulos em que podemos trabalhar com triângulos, é muito comum que utilizemos graus como unidade de medida, mas, quando estamos tratando de arcos de circunferência, é muito comum que utilizemos radianos e é interessante que você se acostume com isso. Como as duas unidades expressam ângulos, podemos relacioná-las para saber como podemos transformar uma em outra. Para isso, vamos relembrar alguns conceitos sobre o comprimento de um círculo (ou circunferência). Veja a figura abaixo de uma circunferência com centro O e raio r.
Lembre que a divisão entre o comprimento da circunferência e duas vezes o seu raio (ou diâmetro) é uma constante, chamada (π) e vale 3,1415…
Agora que relembramos isso, veja a circunferência abaixo de raio r e com arco indicado por AB.
Imagine AB “esticado” e não arredondado. Veja abaixo:
Supondo que o arco AB tem o mesmo comprimento do raio dessa circunferência, dizemos que um radiano é a medida desse arco. A partir dessa informação, podemos fazer uma regra de três para saber quantos radianos há em uma circunferência completa, já que sabemos como calcular o comprimento de uma circunferência. Então, a regra de três será construída da seguinte forma: se um radiano vale r (que é o comprimento de parte da circunferência, um arco), quanto radianos equivalem a uma circunferência completa? Perceba que o comprimento pode ser dado em unidades de medida como cm, m, etc.
Resolvendo essa regra de três, ao fazer a multiplicação cruzada, teremos o cálculo abaixo.
Então, uma circunferência completa possui 2 pi radianos (rad), que é outra forma de dizer que uma circunferência possui 360º. Portanto, podemos relacionar graus e radianos fazendo outra regra de três. Se 2π valem 360º, quantos radianos correspondem a 90º?
Então, 90º equivalem a π/2 rad. Fazendo o mesmo para outros ângulos, como 180º e 270º:
Podemos traçar esses ângulos em circunferências para visualizarmos melhor o que eles representam, acompanhe abaixo.
Você pode fazer isso para todos os ângulos que vierem à sua cabeça, apenas atente para os ângulos acima de 360º. Por exemplo, o ângulo 375º corresponde a um pouco mais do que uma volta completa e tem como semelhante o ângulo de 15º, já que 375 – 360 = 15. Ou seja, 375º equivalem a uma volta completa e mais 15º na segunda volta.