Agora que já sabemos como calcular as raízes e as multiplicidades, podemos entender como interpretar e/ou traçar os gráficos dos polinômios de graus maiores do que 2 (porque os de grau 2 você já deve estar cansado de fazer, né?). Para iniciarmos nosso estudo, é imprescindível que você lembre que a raiz é o local em que o gráfico corta ou encosta no eixo x. Vamos analisar o esboço abaixo:
Note que o gráfico tangencia o eixo x quando a multiplicidade da raiz é par; já quando a multiplicidade é ímpar, o gráfico faz uma espécie de degrau no eixo x; quando a raiz é simples, como você está acostumado, o gráfico corta o eixo x.
Para compreender o comportamento do gráfico no infinito, é necessário avaliar dois fatores: o sinal do coeficiente dominante e se o grau do polinômio é par ou ímpar. Vamos ver o esboço desses gráficos para entender melhor:
Se o Grau For Ímpar
Perceba que, na primeira situação, quando o coeficiente dominante é maior do que zero, os valores do polinômio tendem ao menos infinito quando o x tende ao menos infinito; e os valores do polinômio tendem ao mais infinito quando o x tende ao mais infinito. Já na segunda situação, quando o coeficiente dominante é menor do que zero, os valores do polinômio tendem ao mais infinito quando o x tende ao menos infinito; os valores do polinômio tendem ao menos infinito quando o x tende ao mais infinito.
Se o Grau For Par
Na primeira situação, quando o coeficiente dominante é maior do que zero, os valores do polinômio tendem a mais infinito tanto com x tendendo a menos infinito quanto com x tendendo a mais infinito. Já na segunda situação, quando o coeficiente dominante é menor do que zero, os valores do polinômio tendem a menos infinito, tanto para x tendendo a menos infinito quanto tendendo para mais infinito.
Com essas informações sobre as raízes e coeficientes, fica bem mais fácil interpretar ou esboçar o gráfico de qualquer função polinomial.
Gráficos de Inequações
Nós já estudamos algumas inequações polinomiais e como esboçar seus intervalos a partir de gráficos. Agora, vamos aprender como resolver essas inequações quando temos mais de duas raízes. Para isso, vamos fazer um exemplo utilizando polinômio p(x) abaixo, considerando que as raízes dele são 3, -1 e -4:
E vamos investigá-lo para valores menores ou iguais a zero:
Como já sabemos quais são as raízes do polinômio, vamos apenas colocá-las em ordem crescente e formar intervalos com elas:
► Ordem crescente: -4, -1, 3.
► Intervalos: (-∞, -4); (-4, -1); (-1, 3); (3, +∞)
Como os polinômios mudam de sinal apenas em suas raízes, vamos testar o sinal da função em cada um desses intervalos que fizemos, escolhendo um valor entre cada um deles. Por exemplo: entre menos infinito e -4 podemos testar o sinal de -5; entre -4 e -1 podemos testar sinal de -2; entre -1 e 3, o sinal de 0; e, por fim, entre 3 e mais infinito, o sinal de 4. Perceba que esses valores foram arbitrados, você poderia escolher quaisquer outros desde que os valores estejam entre os intervalos das raízes. Escolhidos os valores dos quais queremos saber o sinal, basta substituir no polinômio. Fazer uma tabelinha ajuda bastante. Veja:
Vamos traçar uma reta com valores de x. Vamos marcar um pontinho vermelho em cima das raízes e um pontinho preto em cima dos valores que arbitramos para saber o sinal. Vamos, ainda, só para entender melhor, colocar o valor que encontramos quando substituímos esses x no polinômio. Acompanhe:
Lembre-se de duas coisas: i) a função muda de sinal nas raízes; ii) estamos procurando valores para os quais o polinômio é menor ou igual a zero. Analisando o gráfico, você percebe que até o -4 (que é onde o sinal muda) o polinômio é negativo, já que analisamos x = -5 e vimos que ele é negativo (-32). Entre -4 e -1, o polinômio é positivo, já que x = -2 é +10, positivo, afinal. Entre -1 e 3, o polinômio é negativo, como vimos, x = 0 é -12, então temos um intervalo negativo. A partir de 3, o polinômio é positivo, já que x = 4 é +40. Veja esses intervalos no gráfico:
Então, expressando o resultado em intervalos, e lembrando que procurávamos valores para os quais o polinômio era negativo, teremos que:
É trabalhoso, mas não podemos chamar de difícil, né? Veja o resuminho:
- Você precisa determinar as raízes da equação associada. Se o
problema fornecê-las, pule esta etapa; - Crie intervalos com as raízes. Lembre-se de incluir o menos infinito e o mais infinito;
- Escolha um ponto em cada intervalo e substitua no polinômio para determinar o sinal;
- Trace o gráfico e analise o que obteve;
- Expresse o resultado em forma de intervalos.